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Perspective cavalière

avec Cabri et Cabrijava

Jean-Jacques DAHAN (IREM de Toulouse)

Conférence Formation de Formateurs

8 Juin 2001 à Toulouse

1. Une perspective animée pour commencer

La petite maison dans la prairie

On peut créer cette petite maison avec des crayons sur une feuille de papier mais on ne peut pas modifier instantanément l’angle de la perspective comme on peut le faire avec Cabri ou Cabrijava en tirant tout simplement sur une demi-droite.

On a modifié l’angle de vision (figure de gauche) mais il apparaît un problème de couleurs quand on renverse le toit en tirant sur l’un de ses sommets (figure de droite).

Les problèmes s’accumulent quand on tire sur d’autres points, et cette figure plane qui semblait représenter une petite maison avec sa verte prairie dans l’espace, commence à nous donner une drôle d’impression.

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Un cube qui glisse, qui roule et qui enfle

Il est possible de faire tourner ce cube autour de l’une de ses arêtes.

De le tirer vers l’avant.

D’augmenter la longueur d’une de ses arêtes et de modifier la profondeur.

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2. Du plan à l’espace

Des triangles pour une étoile

Partant d’un triangle du plan et en utilisant des symétries centrales, on obtient la figure de droite qui ressemble à une étoile dessinée sur le sol.

Tordons un premier pavage

Ce beau drapeau semble être placé en face de nous sur la figure de gauche. Sur la figure de droite, on a l’impression de regarde ce même drapeau mais, d’un endroit différent.

Ici, on a l’impression de flotter dans l’espace avec ce s jolies vues du même drapeau.

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Modifions les paramètres d’un second pavage

Cette construction a été faite uniquement avec des quadrilatères du plan. On continue à avoir une impression spatiale. Quelle beau parquet du point de vue d’un peintre de la Renaissance !

Si on modifie quelques paramètres de la construction, comme on l’a fait ici, on arrive à un pavage où les quadrilatères sont pratiquement des parallélogrammes (dans ce cas les lignes de fuite semblent être parallèles).

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L’ombre d’un cube éclairé, sur un écran bleu

D’abord, remarquons que les arêtes de la figure plane obtenue sur l’écran ne sont pas parallèles alors qu’elles le sont dans la réalité du cube éclairé.

Ensuite, notons que la figure obtenue que le cube dont elle est l’ombre portée. Évidemment cela dépend des emplacements relatif de la source lumineuse, du cube et de l’écran.

Enfin, les dimensions de l’ombre de la face avant du cube éclairé sont plus grandes que les dimensions de l’ombre de sa face arrière.

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Quand la source lumineuse est loin du cube, les rayons qui sont tracés et qui nous permettent d’obtenir l’ombre du cube sont presque parallèles. Ainsi nous pouvons avoir une bonne idée de la manière dont on représente un cube en perspective cavalière avec les deux figures ci-dessus.

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Représentation en perspective cavalière sur le tableau noir

· Le tableau représente le plan frontal de référence (c’est un plan parallèle au “plan des yeux” d’un observateur se tenant debout face au tableau). Toutes les figures de ce plan sont représentées en vraies dimensions (les unités sont données par un repère sur (Oy,Oz)).

·· La demi-droite Ox est portée par une droite passant par O et perpendiculaire au plan frontal de référence. Cette droite s ‘appelle “la ligne de fuite”  de la perspective. Toute perpendiculaire à n’importe quel plan frontal (un plan frontal est un plan parallèle au plan frontal de référence) sera représentée par une parallèle à la ligne de fuite. Toute figure incluse dans n’importe quel plan frontal sera représentée en vraies dimensions.

··· Un nombre appelé “le coefficient de la perspective” (ici 0,8) est la longueur sur la ligne de fuite d’un segment représentant l’unité de l’espace.

Il peut aussi être utilisé pour calculer la longueur L’ à reporter sur la ligne de fuite pour représenter un segment de vraie longueur L, avec la formule :

L’ = 0,8.L ou dans le cas général : L’ = k.L (où k est le coefficient de la perspective).

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3. Comment représenter des cubes ?

En utilisant des symétries centrales

Ici, il est nettement plus instructif de consulter le fichier Cabrijava pour voir la construction pas à pas de cette figure.

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En utilisant des translations

Même remarque.

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En utilisant une macro

Une macro est un outil que nous avons créé et qui peut-être ajoutée à la barre d’outils. Nous avons réalisé ici un pavage de l’espace avec des cubes utilisant 8 directions.

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Et encore des pavés avec une autre macro

La macro utilisée ici, trace un point, donné par ses trois coordonnées, dans une représentation en perspective cavalière de l’espace. Pour utiliser cette macro, on doit cliquer sur le d’axes(Oy,Oz), sur la ligne de fuite, sur le coefficient de réduction et sur les 3 coordonnées.

Pour résoudre des problèmes d’intersections

Chaque point construit avec cette macro l’est avec son pavé associé (en pointillés). Il est ainsi aisé avec ces pavés de déterminer le point d’intersection d’une droite passant par 2 points créés par cette macro et les 3 plans de bases.

Ou trisecter un cube avec des pyramides isométriques

Voici un bel exemple d’un usage pertinent de cette macro (cette macro a été conçue par Jean-Paul Payry). On obtient la preuve “visuelle” de la formule donnant le volume d’une pyramide.

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4. Comment représenter des cercles?

5 points particuliers sur un cercle

Pour faire pivoter le cercle bleu autour de (OA), on fait pivoter l’un de ses points, V et on obtient le point V’ tel que TV’ = k.TV où k est le coefficient de la perspective. On a construit la représentation verte (cercle image par la rotation « quart de tour ») en demandant le lieu du point V’ quand le point V parcourt le cercle bleu.

Pour reconnaître la nature de la courbe plane obtenue en vert, il suffit de tracer la conique passant par 5 points de ce lieu, car il semble qu’on obtienne une courbe superposée à la courbe verte. Cabri nous dit que la conique tracée est une ellipse.

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Rotating a circle or a triangle of the front plane

Si on utilise ce résultat qui est vrai, on peut réaliser les animations schématisées ci-dessus.

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5. Réaliser des cubes ouvrants

Face par face

And also this one

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Les quatre faces verticales ensemble

Et enfin cette dernière.

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6. Conclusion

Faire de la perspective cavalière avec Cabri vous donnera l’occasion de faire des mathématiques; vous avez certainement compris que ma manière de vous présenter la perspective cavalière avec ces fichiers était un masque pour vous attirer dans un endroit où vous aurez besoin de ce magnifique logiciel pour pratiquer les vraies Mathématiques, les belles Mathématiques.

Aurais-je oublié de vous parler de Filou?

Qui est Filou ?

C’est mon fils virtuel; je l’ai créé 1998. Il apparaît dans le livre que j’ai écrit (e Français) “Introduction à la géométrie avec la TI-92” ( Éditions ELLIPSES) qui est une initiation ludique du logiciel de géométrie dynamique Cabri de la TI-92. Vous y apprendrez pas à pas comment construire chaque fichier avec les copies d’écrans des écrans que vous devriez obtenir. Vous y fabriquerez des voitures animables, des Filou danseurs, des soleils qui rient et qui pleurent et tout un tas d’autres fichiers. Vous deviendrez rapidement un passionné de géométrie dynamique, aussi bien vous que vos étudiants..

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