Pour un retour
au symbolisme en Mathématiques ?
Introduction historique
Jusqu’au début des années 60, l’enseignement au Lycée est en général resté très traditionnel avec beaucoup de connaissances et de méthodes, et les programmes ne tenaient pas compte du profond renouvellement de la pensée mathématique qui s’était opéré au vingtième siècle.
L’arrivée très médiatisée des “ Mathématiques modernes ” a provoqué de grands remous, tout particulièrement chez les parents qui souvent ne faisaient même pas face à des exercices élémentaires de I’Ecole Primaire: ils ne retrouvaient plus le vocabulaire de leur enfance. Et comme certains ont propagé l’idée que ces “ nouvelles Mathématiques ” étaient indispensables dans l’éducation du nouvel honnête homme, on a observé une avalanche d’ouvrages de recyclage destinés au public et même, beaucoup d’enseignants se sont crus obligés d’employer des mots et des symboles savants lorsque ce n’était pas nécessaire sans parler des auteurs de sujets d’examens, même professionnels… !
Pour l’enseignant du Secondaire des années 70, le changement a été en fait d’une toute autre nature; des structures, des concepts, des démarches, avaient enfin un nom. on découvrait des analogies de structures et de raisonnement pour des ensembles apparemment étrangers. L’enthousiasme communicatif de beaucoup les entraîna peut-être à des excès... C’était à la mode !
Même en écartant le problème de l’enseignement primaire, dont les bouleversements ont été et restent les plus graves conséquences de la réforme, il est facile de donner quelques exemples de ces abus. Tout le monde a encore en mémoire les distinctions subtiles entre petits et grands cosinus dans les classes de premières, les définitions des angles et des mesures, si précises et si commodes à manipuler ensuite, sans oublier la célèbre définition de la droite graduée en quatrième…
Mais la question des mathématiques modernes est moins celle d’un hiatus entre l’enseignement secondaire et l’enseignement supérieur que celle du renouvellement de la pensée au vingtième siècle et de sa place dans l’enseignement. Autrement dit, celle de la liaison entre l’état actuel d’une discipline et de son enseignement. La réforme a donné une réponse naïve : racontons la modernité aux élèves. Mais cette réponse était moins celle des mathématiciens que celles des sciences cognitives de l’époque, à savoir l’épistémologie génétique de Piaget et le malentendus de la rencontre Piaget-Bourbaki (cf le colloque de Royaumont de 1955) et du structuralisme ambiant, moins celui des structures telles que les a définies Bourbaki que celui développé dans les sciences dites humaines.
Axiomatique et symbolisme
La réforme de 70 avait choisi une présentation axiomatique des structures algébriques. Seule la théorie des structures qui organisait le corpus général des mathématiques depuis un siècle déjà, donnait, aux yeux des zélateurs de la réforme, les éléments propres à rendre intelligibles les mathématiques vivantes. Mais le parti pris d’enseigner la notion de structure, c’est à dire le concept unificateur avant même les objets à unifier a fait réapparaître de façon inattendue le vieux problème des rapports de l’algèbre et du langage. Certes il ne s’agit pas d’étendre l’usage des symboles, indépendamment de leur signification, comme le firent les analystes au dix-huitième siècle, ou le théorisèrent les anglais du début du dix-neuvième qu’on a peut-être un peu rapidement regroupé en une école symboliste. Les groupes (ou les classes d’équivalence) que les collégiens manipulaient avaient leur existence fondées dans le cadre du formalisme, mais pour les enfants qu’en était-il ? L’échec de la réforme de 1970 repose donc en partie sur l’illusion langagière, c’est-à-dire sur la croyance que l’usage a priori du bon langage est suffisante pour assurer la compréhension des concepts.
Mais la contre-réforme, quant à elle, a cru résoudre le problème en rejetant le théorique sous prétexte d’enseigner ou d’animer le concret. En particulier elle a minoré les questions de langage ce qui est une grave erreur.
Aujourd’hui l’utilisation des symboles (prohibée au collège semble-t-il) est laissée à la bonne volonté du professeur de Lycée. Mais cette méthode, a priori pragmatique –on introduit un symbole au gré des besoins, sur le tas- ne semble pas donner des résultats très satisfaisants. Il n’est pas rare de rencontrer après le bac des élèves, pourtant mentionnés qui confondent intersection et réunion, ou qui ne parviennent pas à nier un système de clauses.
Curieusement les différents chapitres des programmes ne sont pas à égalité devant le recours aux symboles. Pour simplifier on pourrait dire que plus une partie est ancienne (par exemple la géométrie) et moins elle est autorisée à définir des termes ou des symboles. En revanche les sections récemment introduites dans les programmes ont plus de droit quant au vocabulaire et aux symboles. C’est ainsi que les élèves rencontreront sans doute pour la première fois le symbole d’intersection dans leur cours de probabilités, associé à la notion compliquée d’événement, et leur premier raisonnement par double inclusion dans le cours d’arithmétique. Ne parlons pas de la nouvelle théorie des graphes !
La réforme de 1970 s’était construite sur un malentendu, une mauvaise lecture de Hilbert et une confusion sur le terme de structure (Bourbakisme versus Structuralisme). Les structures qu’elle enseignait étaient des sacs vides que les élèves ne parvenaient pas à remplir au fur et à mesure de leur formation.. Ces élèves n’avaient guère de temps pour se familiariser avec des objets qu’on avait supprimé ou simplifié (en géométrie notamment). Mais le passage obligé par la pédagogie de la réussite, a induit d’autres travers depuis les années quatre-vingts[1]. L’obligation de résultats a incité les enseignants à multiplier les évaluations et elle a amplifié le bachotage des élèves. Le recours aux prétendues méthodes, aux trucs, exercices types et savoir-faire font reposer aujourd’hui l’enseignement des mathématiques sur des règles tout à fait formelles. Le caractère extensif de l’utilisation des concepts et des signes est d’ailleurs amplifié par l’emploi de calculatrices de plus en plus puissantes. Cet emploi suggère un nouveau principe de réalité puisqu’on trouve des solutions imaginaires aux équations algébriques, ou encore des logarithmes aux nombres négatifs. L’utilisation extensive (définie ou non) de nombres et de règles est naturelle et ne paraît pas condamnable. Mais l’un des objectifs d’une formation scientifique consiste aussi à faire réfléchir les élèves sur les problèmes de permanence[2] et à les replacer dans une perspective historique. Une introduction non axiomatique[3] et raisonnée des symboles, c’est-à-dire, pour reprendre le vocabulaire des algébristes anglais du dix-neuvième siècle, une interprétation des symboles[4] paraît donc profitable. La géométrie qui constitue la partie la plus importante de la culture mathématique des élèves qui rentrent au Lycée devrait jouer dans ce processus un rôle important. Nous avons essayé de détailler dans ce texte quelques exemples.
La notion d’ensemble.
L’explicitation des connecteurs logiques qui ont pour premier objectif, d’un point de vue Booléen, de construire un calcul du raisonnement, n’a pas sa place ni au Collège ni au Lycée. Le recours au symbolisme peut masquer des incompréhensions sous des réussites apparentes.
Mais les objets élémentaires de la géométrie (droite, plan, cercle) permettent de facilement mettre en œuvre la notion naïve d’ensemble, celle du langage courant. Si l’objet droite ne se réduit pas à l’ensemble de ses points, la dualité qu’il représente est une difficulté que tout élève doit surmonter. Le mouvement déjà ici, en prenant l’exemple d’une fourmilière en marche rectiligne, permet d’illustrer pourquoi l’objet global est fixe alors que les points sont translatés.
Les recherches d’ensemble de définition ou de régionnement sont l’occasion d’introduire ou d’utiliser les connecteurs et et ou ainsi que leur lien avec les opérations È et Ç. Il s’agit à ce propos d’un usage pré-ensembliste, puisqu’on considère ce qui est commun à deux objets : intersection de droites, de plans. Le régionnement est alors une façon d’introduire la notion d’ensemble. De même la recherche de l’ensemble de définition d’une fonction d’une ou plusieurs variables, c’est-à-dire la recherche des valeurs que peuvent prendre les variables en est une autre façon. Bien définir , , est un bon exercice sur l’usage des connecteurs qui repose sur un dessin.
Dans un deuxième temps arrive la mise en équation, c’est-à-dire la représentation symbolique d’un problème.
Exemple : Dans un repère du plan , on considère les points A(-1;-1) , B(2;3) , C(1;1) et D(1;-1). Caractériser l’intérieur du quadrilatère ABCD , frontière comprise, à l’aide d’un système d’inéquations.
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La surface (ABCD) de ABCD présente un angle obtus en C; ABCD est donc un quadrilatère concave. Il n’est donc pas possible de caractériser l’intérieur de ABCD par un conjonction d’inéquations linéaires (un demi-plan est convexe). Cependant, (ABCD) est la réunion des surfaces des deux triangles ABC et ACD : on peut écrire: |
Il est donc possible de caractériser l’intérieur de ABCD à l’aide d’une disjonction de deux systèmes; après calculs, on obtient[5] la caractérisation :
Sur les problèmes de réciproque.
Réciproque et mouvement
Avec la diffusion des programmes de mathématiques modernes dans les années soixante-dix, on a réécrit les questions concernant les problèmes de lieu de points, avec le vocabulaire de la théorie des ensembles. Ainsi, rechercher le lieu du point M est devenu, rechercher l’ensemble des points M qui vérifient la propriété, etc. Les changements qui ont suivi n’ont pas modifié ce trait bien que le vocabulaire et les symboles de la théorie des ensembles ne soient presque plus enseignés après 1983. Il faut dire que la réduction des chapitres de cinématique, continue depuis trente ans, avait empêché les élèves, et surtout à leurs professeurs d’acquérir la culture mécanique propre à développer de nouvelles représentations. De plus la période des mathématiques modernes, en cultivant la séparation entre mathématiques pures et non pures, avait sans doute accentué un défaut antérieur de l’enseignement français. Curieusement, l’abandon des structures n’a rien changé sur ce sujet.
Les exigences de la réussite pour tous semblent même avoir fait sortir ce type d’exercices à réciproque , réputé difficiles du cursus scientifique des Lycées.
Pourtant, parallèlement le développement des logiciels de géométrie (Cabri géomètre, par exemple) éclaire ce type d’exercices d’un jour nouveau, ils permettent de découvrir des lieux qui sortent des sentiers battus, et plus généralement de modéliser des systèmes articulés. Mais faudrait-il encore dépasser les séances de travaux pratiques où l’on se contente de décrire, de voir, ou d’admirer.
Posées sous la forme de double inclusion, les problèmes de réciproques ont toute leur place dans ce texte sur le symbolisme. Mais la formulation ensembliste est-elle plus abstraite que la formulation cinématique ? Comment passer de l’une à l’autre ?
Le professeur de mathématique a l’habitude d’enseigner le simple avant le compliqué, ce qui a priori n’est pas un mauvais principe. Concernant les réciproques, ce sage précepte rencontre un écueil important. Si le lieu du point recherché est trop élémentaire, l’élève ne verra pas la nécessité de circonscrire sa trajectoire (pour prendre le vocabulaire de la Cinématique). D’autre part l’habitude de transformer des objets simples en objets simples (droites en droites, cercles en cercles) empêche de se motiver quiconque a déjà trouvé trois points non alignés. A l’inverse les problèmes plus difficiles, justement sont…plus difficiles.
Mais même si la présentation par les traceurs peut laisser penser que l’interprétation cinématique est plus naturelle que l’interprétation ensembliste, il ne faut pas oublier que la notion de trajectoire, comme la notion d’ensemble est à la fois concrète lorsqu’elle s’appuie sur la connaissance naïve et abstraite lorsqu’elle est conceptualisée. Le passage du lieu à l’ensemble est une statification et c’est peut-être un point important de l’enseignement que de conduire à la statification, et montrer ainsi quelle est la signification de l’élimination du mouvement.
Un exemple pour commencer.
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On a pris un point P à l’extérieur d’un cercle de centre O et de rayon R. Le point M décrit le cercle. On note H le projeté orthogonal de O sur (PM) quel est le lieu L du centre de gravité G du triangle OHP ? |
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Une étude, disons expérimentale, permet de tracer le lieu demandé. Ce lieu contient deux points d’arrêts qui ne sont pas des points déjà donnés dans le texte (c’est pour cela qu’on a choisi le lieu du centre de gravité). On s’aperçoit facilement en faisant tourner le point M sur le cercle que L est décrit deux fois.
Une première étape de la solution consiste bien sûr à rattacher le point G au point H, par l’homothétie de centre I, milieu de [OP]. Ce lien peut-être posé dès la construction de la figure si l’on veut éviter (donc si l’on s’interdit) de construire les médianes du triangle OHP. Comme H appartient au cercle de diamètre [OP], le point G appartient à l’image de ce cercle par l’homothétie. Nous venons de définir un premier guidage de H à G.
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Ce guidage étant réversible (ce qui signifie dans le monde des applications que l’homothétie est une bijection) le point H ne doit pas décrire entièrement un cercle. Comme la droite (PM) balaye le secteur défini par les deux tangentes (PA) et (PB) menées au cercle par P, seul l’arc d’extrémités A et B du cercle et contenant O est décrit par H. |
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Ces remarques qui ne constituent pas une preuve parfaitement satisfaisante pourrons suffire lors d’une première étude. Elles expliquent pourquoi il y a un vide dans L, et c’est le plus important. Pour expliquer pourquoi L est parcouru deux fois on peut mettre en place les deux guidages qui l’on vient de trouver.
A un point M on associe donc d’abord le projeté orthogonal de O sur (PM) et c’est là la partie la plus délicate. Nous avons vu que le second guidage était réversible (homothétie). Si l’on étudie aussi la réversibilité du premier guidage on constate que deux points du cercle correspondent au même point H, ce qui justifie la double génération. Cette difficulté provient d’une mauvaise formulation de notre énoncé. Si l’on avait dit à toute droite D passant par P et sécante au cercle on associe H le projeté orthogonal de O sur D, on aurait alors un énoncé qui aurait permis d’associer à toute droite du secteur (APB) un et un seul point H et le lieu L ne serait décrit qu’une fois. La preuve de la réciproque correspond à la construction du point H à partir d’une droite D donnée.
Mouvement et
application
Si l’on essayait de dresser un catalogue raisonné des exercices concernant les lieux on pourrait dire que le premier niveau de difficulté est représenté par les exercices pour lesquels on peut trouver un guidage simple d’un point connu de la figure vers le point courant (version cinématique) c’est-à-dire une application f qui associe à M connu le point M’. Le lieu d’un point M qui décrit un ensemble E est l’ensemble image f(E). Pourquoi ne pas mettre en évidence, sur des exemples simples les liens entre les propriétés de la figure, les guidages, et les propriétés générales de l’application f ?
Le cas le plus simple arrive lorsque f est involutive.
Proposition : Un
ensemble de points E est fixe par une involution f dès que f(E)
Ì E.
Démonstration :
si l’on compose par f l’inclusion précédente on obtient
(fof) (E) Ì f(E) donc E Ì f(E)
D’où l’égalité par double inclusion (ceci s’applique souvent
à la symétrie).
Justement
si f est une application définie sur A È B l’égalité f(A È B)= f(A) È f(B) se démontre par double inclusion.
De même
pour f(A Ç B)=
f(A) Ç f(B)
, lorsque f est injective.
Application :Si f est une involution et E un sous ensemble du plan E Ç f(E) est invariant. En particulier s’il est réduit à un point, c’est un point fixe.
Exercice à propos des projections:
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Dans la projection p sur D parallèlement à d, p( [AB] Ç [CD]) =
{i} et p( [AB]) Ç p([CD]) = [ab] Ç [cd] = [cb] ainsi, p( [AB] Ç [CD]) ¹ p( [AB]) Ç p([CD]) ( p n’est pas une injection du plan sur D !) |
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La démonstration.
La disparition des notions de condition nécessaire et de condition suffisante est une ineptie sur le plan mathématique et par conséquent sur le plan pédagogique. Si “ A alors B ”, ou ce qui revient au même, “ A est une condition suffisante pour B ”, ou “ B est une condition nécessaire pour A ” : ce langage semble essentiel pour comprendre la signification d’un énoncé et ceci indépendamment du calcul des propositions.
La réforme avait tenté d’initier les élèves au calcul des propositions en introduisant dès la seconde les tables de vérité. Le cours et les démonstrations des manuels de l’époque utilisaient un langage mathématique très précis, des référentiels et de nombreux quantificateurs. Ce style a disparu avec la contre-réforme quand on a demandé, avec sagesse, aux enseignants de revenir au Français. Mais il est facile de constater que de nombreuses pratiques pédagogiques qui avaient permis de former plusieurs générations d’élèves au raisonnement jusqu’aux années soixante ont disparu lors de ces voltes faces. Est-ce que l’on différencie encore le théorème direct et le théorème réciproque ? Plus précisément demande-t-on encore aux élèves d’inventer une réciproque. En effet devant tout problème mathématique il y a trois groupes d’assertions à préciser[6], d’abord les données, ensuite les hypothèses et enfin la conclusion. C’est la reconnaissance de ces trois groupes qui permettra à l’élève de dégager une réciproque.
Sur les structures.
L’Histoire des maths montre que l’on ne sait désigner une propriété qu’après avoir trouvé des objets qui la vérifient et d’autres qui ne la vérifient pas. Par exemple la notion de commutativité n’est mise en évidence qu’après la découverte d’un ensemble de nombres où notamment i j = -j i (corps des quaternions non commutatif 1843). Enoncer la commutativité des opérations usuelles n’a pas beaucoup d’intérêt puisque les matrices et les quaternions ne sont enseignés qu’après le baccalauréat. En revanche la géométrie fournit des exemples simples de transformations qui commutent entre elles. Pourquoi les élèves qui se sont familiarisés avec les objets et les raisonnements simples de la géométrie dès le Collège ne pourraient-ils pas, avant la fin des études de Lycée, composer les transformations, les inverser ou en rechercher les invariants ? Ceux qui arrêtent leurs études au baccalauréat aurait un point de vu plus complet de la Géométrie, et ceux qui poursuivent des études scientifiques auraient, eux, des exemples non triviaux à associer au cours supérieur d’Algèbre souvent abstrait et totalement coupé de l’enseignement qui le précède.
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La célèbre configuration de la droite des milieux est reliée à l’égalité algébrique : SIoSI
= T2. |
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La notion de transmuée donne de jolis résultats Si f est une translation de vecteur et g la symétrie orthogonale d’axe D dont la direction est , alors est une isométrie dont tous les points de D sont fixes et différente de l’identité. On a donc
ce qui donne (décomposition commutative d’une symétrie glissée).
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Si l’on admet que l’on a déjà étudié le groupe des 24 isométries du tétraèdre on peut déduire celui du cube. En effet un cube est constitué de deux tétraèdres symétriques par rapport au centre O. Lemme[7] : Soit f une isométrie du tétraèdre, alors f et SO commutent. Application : les 48 isométries du cube sont les 24 isométries qui laissent invariant les tétraèdres qui composent le cube, et les 24 qui les échangent. |
Détaillons
l’application : Soit T l’un des tétraèdres inscrits dans le
cube C. On a . Soit f une isométrie qui laisse invariant T.
On a
donc les 24 isométries du tétraèdres T laissent invariant le cube. D’autre part on peut considérer les 24 isométries obtenues en composant les précédentes par SO (en remarquant qu’elles sont distinctes deux à deux et différentes des précédentes.) Alors
On a récupéré toutes les isométries car un sommet et ces trois sommets adjacents doivent nécessairement être envoyés sur l’un des sommets du cube accompagné de trois sommets adjacents ce qui nous fait au plus 6x8=48 isométries.
L’essentiel n’est donc pas de définir ex nihilo les structures mais bien d’apprendre à les reconnaître et à les distinguer. L’intérêt des exemples qui précèdent est de tracer un passage de la géométrie à l’algèbre des transformations. Car il n’est pas besoin d’introduire la notion générale de groupe pour apprendre à la reconnaître dans certains cas et surtout à l’utiliser en géométrie. Si un élève géomètre sait reconnaître les configurations les plus élémentaires, il devrait aussi ne pas avoir le même comportement si l’application ponctuelle à employer est bijective ou ne l’est pas (passage à la réciproque), si elle commute avec d’autres ou pas (composition), si elle possède des invariants ou non (on tourne autour des points fixes).
En conclusion la question centrale est la reconnaissance d’un même, un point essentiel des mathématiques d’aujourd’hui, depuis la seule et même énonciation de Desargues[8] au Programme d’Erlangen de Felix Klein. En ce qui concerne l’enseignement, la question est donc moins de faire un cours préliminaire sur les structures que de les mettre en évidence lorsqu’on les rencontre ce qui renvoie à une autre question qui restera ouverte : à quel moment une étude systématique devient elle signifiante pour les élèves ?
Je laisse
de côté la notion de linéarité et le morphisme.
Dernier point sur la Réciproque. ?