Repères-IREM est une revue pour les enseignants de mathématiques. Que veut dire enseigner, enseigner des mathématiques ? Que faisons-nous aujourd’hui quand nous faisons ce métier ? J’écoute avec attention ce qu’en disent les jeunes enseignants, ceux qui sont fraîchement sortis des IUFM. Chaque génération voit son monde s’évanouir, remplacé peu à peu par celui de la génération montante. Les professeurs, dont je fais partie, qui ont fait leur première rentrée en septembre 1968, se souviennent de ce que disaient ceux qui terminaient leur carrière, ils disaient que leur monde s’écroulait. Alors, évolution réelle ? Evolution ressentie ? Rupture réelle ? Sentiment de rupture ?

Rêve ou réalité.

Le métier que nous faisons aujourd’hui est-il le même qu’il y a trente ans, vingt ans, dix ans ? La question est-elle bien posée ainsi ? Il est plus intéressant de se demander, pour répondre aux doutes et aux questions de nos jeunes collègues, si le métier qu’ils exercent est celui qu’ils ont choisi en entrant dans l’Education Nationale, celui qu’ils ont imaginé pendant leurs études de " bons " élèves. Pour obtenir la classe idéale, si différente de celle qu’ils ont devant eux, ils font souvent plus de préparations sophistiquées pour que leurs élèves fassent vraiment des mathématiques, plus de tentatives pour les convaincre, plus de punitions pour les calmer, plus de prise en compte des difficultés personnelles de chacun, c’est-à-dire toujours plus de la même chose et, ce faisant, ils augmentent la r ésistance de leur élèves à apprendre des mathématiques. Que faire alors devant ces classes bien réelles ? Tenter désespérément d’obtenir d’abord les bonnes conditions pour enseigner ? Ou " faire avec " en proposant des problèmes consistants pour piloter la classe par les mathématiques ?

Principe de réalité.

Qu’avons-nous à perdre de faire le pari que les élèves d’aujourd’hui sont tout aussi capables d’apprendre que les élèves des générations qui les ont précédés, même s’ils sont différents. Mais chaque génération n’est-elle pas différente de celle d’avant ? Qu’avons-nous à perdre de faire le pari que les mathématiques peuvent les intéresser, qu’ils peuvent être séduits par une discipline où l’on peut penser par soi-même, une discipline où l’on peut mettre à distance l’autorité du maître pour trouver le chemin de sa propre certitude. Mais alors, notre rôle est de leur faire rencontrer des questions consistantes portées par de bons problèmes. De bons problémes plutôt que du découpage en rondelles. Si c’est ce que nous cherchons à faire, nous allons trouver des idées dans le sommaire de ce numéro 46. Les six articles s’articulent autour d’un thème commun qui nous est cher, ils sont une invitation à regarder autrement ce qui doit s’enseigner, à interpréter et à problématiser ce que disent les programmes.

Jean-Paul Guichard reprend le thème de la résolution d’un problème du premier degré en classe de Quatrième au collège. Il décrit un parcours d’accès au calcul littéral et à ses règles, à travers des problèmes qui leur donnent du sens. Il refuse de morceler les apprentissages, il préfère suivre un but global où les réponses apportés par le maître sont au service de ce but. Dans cet article Equations et calcul littéral en Quatrième, l’algèbre est vue comme un vrai outil au service de la résolution de problèmes, ce qu’elle ne devrait jamais cesser d’être. Elle est un moyen performant de résoudre ces problèmes et le calcul littéral est le moyen de mettre en œuvre cette méthode.

Pour accompagner le retour de l’arithmétique en collège, sans recourir à la décomposition des nombres entiers en produit de facteurs premiers, Maryvonne Le Berre choisit une approche géométrique. Dans son article, Du PGCD aux nombres irrationnels : approche géométrique, elle considère les nombres comme des mesures de longueur et s’appuie sur la notion de commune mesure de deux longueurs. La recherche du PGCD se ramène ainsi à un problème de pavage : étant donné un rectangle, peut-on toujours le paver avec des carrés identiques ?

Joëlle Fontana et Maryse Nogues explorent des objectifs de l’enseignement des statistiques au lycée : faire prendre conscience de fluctuations d’échantillonnage pour illustrer les nécessaires aller retours entre expérience, modèle, simulation, construire un modèle en adéquation avec ce qu’il est censé représenter, tester sa validité, ajuster un modèle. La question de départ est toute simple : si on coupe un spaghetti en trois, peut-on construire un triangle avec les trois morceaux obtenus ? Mais on peut couper un spaghetti en trois de bien des façons, qu’elles soient manuelles ou électroniques. Evidemment les modélisations et les résultats qui en découlent sont différents. Dans leur texte Simulation et modélisation : étude d’un exemple, les auteures analysent plusieurs expériences s ur un mode bien instructif pour le cours de statistiques.

L’article de Dany-Jack Mercier raconte des histoires à propos de secrets d’état ou de secrets militaires. Du chiffrement de César à la Mathématique de la Carte Bancaire, en passant par Enigma, nous avons un petit aperçu de ce qui a permis de tout temps la dissimulation de la présence d’un message ou la dissimulation du sens d’un message. On y découvre des systèmes utilisés aujourd’hui comme le système à clé publique RSA, ou un système plus classique comme le DES et l’utilisation de ces deux systèmes dans les processus d’authentification des cartes bleues à puces.

Jean-Alain Roddier se demande comment expérimenter en arithmétique, comment " voir " et manipuler des nombres pour émettre des Conjectures en arithmétique ? Il utilise des problèmes de baccalauréat de la série S, il les transforme en problèmes ouverts et il propose à ses élèves d’écrire des algorithmes pour construire, à l’aide d’un tableur, des tableaux de nombres qui donneront à voir. Et après cette phase expérimentale, le professeur et ses élèves pourront établir de bonnes démonstrations fortement inspirées par ces manipulations préalables.

Dans le texte Equations différentielles : le perte du sens n’est pas sans risques, Gérard Kuntz revient sur le sens, comme Jean-Paul Guichard, à propos des deux types d’équations différentielles qui restent dans le programme de Terminale S. Il invite ses élèves à résoudre des problèmes de physique pour leur donner l’occasion de rencontrer des relations entre des dérivées de fonctions inconnues, pour les confronter à la nécessité de résoudre des équations différentielles. Ce petit chapitre de Terminale sur les équations différentielle n’est pas anodin, il ne peut se réduire à une collection de recettes. Il est bien préférable de le problématiser comme le décrit l ‘auteur, car " si l’on renonce au sens des choses, elles finissent par nous échapper  ".Une belle idée d’enseignement à saisir pour tous ceux qui ne veulent pas accepter que les mathématiques soient réduites à des collections de savoir faire ou à des fiches d’utilisation de calculatrice. Le risque de cette dérive est évident, les mathématiques pourraient tomber en dessous du seuil d’intelligibilité.

Maintenons le cap, conservons le sens, et bonne année à tous et à toutes.

Maryse Maurel