Al-Khayyam

dimanche 17 avril 2016
par  Guichard, Jean-Paul
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AL-KHAYYÂM, (Omar 1048-1131 (dates approximatives)

Traité d’algèbre (Kitâb al-jabr wa l-muqâbala), v. 1074.

Omar al-Khayyâm fait un pas de plus, par rapport aux algébristes qui l’ont précédé, al-Khwârizmî en particulier, en abordant de façon systématique la résolution des équations du troisième degré (à coefficients tous positifs).

Contenu

Al-Khayyâm propose une classification croisée selon deux critères. D’une part, la classification est de nature géométrique, basée sur la constructibilité ou non de la, ou des solutions de l’équation.
Ainsi, il existe deux groupes :
1) Premièrement, les équations résolues à l’aide des propriétés du cercle et de la droite. L’existence des solutions est démontrée à partir des Eléments et des Données d’Euclide.
2) Deuxièmement, les équations résolues à l’aide des propriétés de certaines coniques, paraboles, hyperboles et cercles. Ses démonstrations s’appuient sur les Livres I et II des Eléments d’Euclide, ainsi que sur les Coniques d’Apollonius.

D’autre part, la classification peut être vue comme définie à partir du polynôme associé à chaque équation suivant le nombre de ses termes ainsi que son degré.

Remarque :
Al-Khayyâm connaissait le résultat de non-constructibilité à la règle et au compas de la solution du cas général de la cubique. Par conséquent, la seconde classification coïncide avec la première, exception faite des cubiques réductibles aux équations de degré inférieur ou égal à deux.

[La mention des pages et citations est en référence à Rashed, Roshdi, & Djebbar, Ahmed, L’œuvre Algébrique D’al-Khayyām, Alep : Imprimerie de l’Université d’Alep, 1981.]

Les binômes :
1. Un nombre est égal à une racine (x=p), p. 19
2. Un nombre est égal à un carré (x^2=p), p. 19
3. Un nombre est égal à un cube (x^3=p), p. 21 (résolue à l’aide d’une parabole et d’une hyperbole)
4. Des racines sont égales à un carré (x^2=px, ex. x^2=5x), p. 22
5. Des carrés sont égaux à un cube (x^3=px^2 \Leftrightarrow p=x, ex. x^3=2x^2), p. 22 (les deux dernières sont dans un ordre inverse pour les démonstrations)
6. Des racines sont égales à un cube (x^3=px \Leftrightarrow p=x^2, ex. 4x=x^3), p. 22.

Les trinômes :
7. Un carré plus une racine sont égaux à un nombre (x^2+px=q, ex. x²+10x=39), p. 23
8. Un carré plus un nombre sont égaux à une racine (x^2+q=px), p. 25 (Présence de cas impossibles).
9. Une racine plus un nombre sont égaux à un carré (px+q=x^2), p. 27
Équations du troisième degré qui peuvent se ramener aux équations du second degré.
10. Un cube plus un carré sont égaux à une racine (x^3+px^2=qx \Leftrightarrow x^2+px=q), p. 29
11. Un cube plus une racine sont égaux à un carré (x^3+qx=px^2  \Leftrightarrow x^2+q=px), p. 30
12. Un cube est égal à une racine plus un carré (x^3=qx+px^2  \Leftrightarrow q+px=x^2, ex. x^3=x^2+3x), p. 31.

Équations trinômes du troisième degré.
« Après avoir introduit ces espèces qu’on a pu démontrer à partir des propriétés du cercle, je veux dire à partir de l’Ouvrage d’Euclide, abordons à présent les espèces qu’on ne peut démontrer qu’à partir des propriétés des sections coniques. »
13. Un cube plus une racine sont égaux à un nombre (x^3+px=q), p. 35 (cercle / parabole)
14. Un cube plus un nombre sont égaux à une racine (x^3+q=px), p. 37 (parabole / hyperbole)
15. Un nombre plus une racine sont égaux à un cube (q+px=x^3), p. 38 (parabole / hyperbole)
16. Un cube plus un carré sont égaux à un nombre (x^3+px^2=q), p. 40 (parabole / hyperbole)
17. Un cube plus un nombre sont égaux à un carré (x^3+q=px^2), p. 42 (parabole / hyperbole)
18. Un nombre plus un carré sont égaux à un cube (q+px^2=x^3), p. 45 (parabole / hyperbole).

Les quadrinômes :
Équations quadrinômes du troisième degré, 1/
« (…) chacune est composée de trois termes égaux à un terme »
19. Un cube plus un carré plus une racine sont égaux à un nombre (x^3+px^2+q=r), p. 46 (cercle / hyperbole)
20. Un cube plus un carré plus un nombre sont égaux à une racine (x^3+px^2+r=qx), p. 48 (hyperbole / hyperbole)
21. Un cube plus une racine plus un nombre sont égaux à un carré (x^3+qx+r=px^2), p. 50 (cercle / hyperbole)
22. Un cube est égal à une racine plus un carré plus un nombre (x^3=qx+px^2+r), p. 53 (hyperbole / hyperbole).

Équations quadrinômes du troisième degré, 2/
« (…) chacune est composée de deux termes égaux à deux termes »
23. Un cube plus un carré sont égaux à une racine plus un nombre (x^3+x^2=x+p), p. 55 (hyperbole / hyperbole)
24. Un cube plus une racine sont égaux à un carré plus un nombre (x^3+x=x^2+p), p. 57 (cercle / hyperbole)
25. Un cube plus un nombre sont égaux à une racine plus un carré (x^3+p=x+x^2), p. 60 (hyperbole / hyperbole).

Éditions

Éditions bilingues arabe-français

  • L’algèbre d’Omar Alkhayyámi, publiée, traduite et accompagnée d’extraits de manuscrits inédits, par F. Woepcke, B. Duprat, Paris,1851
  • Al-Khayyam mathématicien, Roshdi Rashed et Bijan Vahabzadeh, Paris, Blanchard, 1999.
    Contient les trois textes mathématiques connus d’Al-Khayyam, avec des commentaires explicatifs.
  • L’Œuvre algébrique d’Al-Khayyam. Établie, traduite et analysée par Roshdi Rashed et Ahmed Djebbar. Université d’Alep, 1981.
    Contient l’Algèbre et le Traité de la division du quart du cercle.

Recherche des œuvres imprimées d’Al-Khayyâm numérisées, sur le site LiNuM

Études

  • Sur la résolution des équations algébriques, Norreddine Mahammed, IREM de Lille, 1997, pp. 46-50 : Les travaux d’Omar Al-Khayyam ; pp. 57-58 : un extrait de son Traité de 1074 portant sur la définition de l’algèbre.
  • L’algèbre arabe : genèse d’un art, Ahmed Djebbar, Paris, Vuibert, 2005 ; pp. 63-69 : Les équations cubiques.

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L’image illustrant cet article provient du site MacTutor.

Conçu et réalisé par François Goichot et Jean-Paul Guichard, avec le concours de Marc Moyon (10/2016).


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