Al-Khwarizmi

dimanche 17 avril 2016
par  Guichard, Jean-Paul
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AL-KHWÂRIZMÎ, Muhammad ibn Mûsâ 780-850 (dates approximatives)

Livre abrégé du calcul par la restauration et la comparaison (Kitâb al-mukhtasar fî hisâb al-jabr wa l-muqâbala), rédigé à Bagdad entre 813 et 833.

Il s’agit du texte fondateur de l’algèbre (dont le nom vient d’al-jabr), en ce sens que la résolution des équations devient pour la première fois un problème central des mathématiques, et un sujet d’étude.

Nous connaissons deux traductions latines de ce texte, toutes deux du 12e siècle : l’une par Robert de Chester et l’autre à Tolède par le célèbre Gérard de Crémone. Il existe une troisième traduction ou adaptation médiévale, peut-être réalisée par Guillaume de Lunis au 13e siècle.

Contenu

  • Introduction
  • La première partie du livre se divise en 5 chapitres.
    Dans le premier, sont définis les objets de l’algèbre : les nombres (entiers et rationnels positifs), l’inconnue (Jidhr = racine) et son carré (Mâl = bien). Puis, il donne les six équations canoniques de degré inférieur ou égal à 2, en les accompagnant d’exemples.

I. -Des carrés égaux à des racines (équation x^2 = ax)
II. -Des carrés qui équivalent à des nombres (a x^2 = b)
III. -Des racines qui équivalent à des nombres (x= b)
IV. -Des carrés et des racines qui équivalent à des nombres (a x^2+b = c)
V. -Des carrés et des nombres qui équivalent à des racines (x^2 + c= bx)
VI. -Des racines et des nombres égaux à un carré (b x+c= ax^2)

Dans le second chapitre, il fournit pour chacune des six équations son algorithme de résolution puis il expose les justifications géométriques de l’existence des solutions.
Dans le troisième chapitre, al-Khwarizmî explique le procédé « d’algébrisation » d’un problème donné afin de le ramener à l’une des équations canoniques.
Dans le quatrième, il expose l’extension des opérations arithmétiques classiques aux objets de l’algèbre (nombres positifs, monômes, binômes, trinômes) en tentant, parfois sans succès, de justifier géométriquement certaines de ces opérations.
Le dernier chapitre est constitué d’une quarantaine de problèmes d’application.

  • La seconde partie du livre est consacrée à la résolution de problèmes de transactions commerciales, d’arpentage et de répartition des héritages.
    (D’après Ahmed Djebbar, La naissance de l’algèbre, ou voir l’onglet Études)

Éditions

  • Édition bilingue arabe-français :
    Al-Khwārizmī, Le commencement de l’algèbre, éd. Roshdi Rashed, Paris, Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard ( Sciences dans l’histoire), 2007, chapitre 2.

    Note sur l’établissement du texte et sa traduction : Max Lejbowicz, « Al-Khwārizmī, Le commencement de l’algèbre, éd. Roshdi Rashed », Cahiers de recherches médiévales et humanistes, 2007, mis en ligne le 25 août 2009, consulté le 28 mai 2016.
  • Traduction française du texte de Robert de Chester
    Algèbre d’Al-Khwarismi. Traductions et commentaires de Jean-Pierre Levet. 4 fascicules. Cahiers d’histoire des mathématiques et d’épistémologie, IREM de Poitiers, 1997.
  • Édition bilingue arabe-anglais :
    The Algebra of Mohammed ben Musa. Traduit par Frederic Rosen, J. Murray, Londres, 1831. Réimpressions : Georg Olms Verlag (Hildesheim, 1986), University Press of the Pacific (Honolulu, 2003) et Kessinger Publishing (Whitefish, Montana, USA, 2004). Le texte arabe est celui du manuscrit Oxford, Bod., Hunt 214, daté de 1342.
  • Édition bilingue latin-anglais :
    Robert of Chester’s Latin Translation of the Algebra of Al-Khowarizmi with an Introduction, Critical Notes, and an English version by Louis Charles Karpinski. The Macmillan Company, New York, 1915. Réimpression University of Michigan Press, Ann Arbor, 1933.
    Ne contient que la partie proprement algébrique du texte d’Al-Khwarismi.
  • Traduction anglaise du texte de Gérard de Crémone
    Gerard of Cremona’s Translations of Al-Khwarizmi’s al-jabr. Barnabas Hughes, Mediaeval Studies 48 1986, p. 211–63.

Études

  • L’algèbre arabe : genèse d’un art, A. Djebbar, Paris, Vuibert, 2005 ; pp. 23-48 : Le livre d’algèbre d’al-Khwarismi.
  • Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. L’algèbre et le calcul indien. A. Djebbar, Paris, ACL-les Éditions du Kangourou, 2013.
  • Faire des mathématiques à partir de leur histoire, tome I, IREM de Rennes, 1995 (téléchargeable) :
    L’algèbre arabe : Al Khwarizmi vers 825 (pp. 120-129).

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Sur la Toile aussi

  • Vidéo d’Ahmed Djebbar sur al-Khwârizmî. Une présentation du mathématicien et de son œuvre en un film de quelques minutes (2’56).
  • Apprendre les mathématiques au Moyen Âge : l’importance des traductions arabo-latines, M. Moyon, Images des Mathématiques.
  • Entretien sur CultureMath avec Ahmed Djebbar concernant l’Algèbre arabe avec pour deuxième et troisième thèmes abordés :
  1. al-Khwārizmī et ses intentions quant à son traité d’algèbre
  2. Le traité d’algèbre d’al-Khwārizmī : simple compilation des savoirs algébriques arabes ou traité novateur ?

L’image illustrant cet article provient du site MacTutor.

Conçu et réalisé par François Goichot et Jean-Paul Guichard, avec le concours de Marc Moyon (10/2016).


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