Bombelli

samedi 3 décembre 2016
par  Guichard, Jean-Paul
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BOMBELLI Raphaël (Rafael, Rafaelle), 1526-1572

L’algebra , 1572.

C’est le seul ouvrage mathématiques de Bombelli. L’importance de ce livre réside dans le fait que c’est la première fois que les nombres nommés aujourd’hui imaginaires ou complexes sont définis (sous leur forme numérique) et leurs règles de calcul établies. La création de ces nombres permet entre autres à Bombelli la résolution complète des équations du 3e degré à coefficients réels.

Contenu

L’édition initiale est composée de trois livres.
Livre 1 Il contient les définitions des puissances de 2 à 6 d’un nombre ; de ses racines, de la seconde à la sixième. Ensuite, sont abordées : multiplication, division, addition et soustraction des racines de même ordre ainsi que les mêmes opérations entre une racine et un nombre rationnel. Viennent ensuite des méthodes de calcul exact ou approché des racines carrées et cubiques. Tous ces calculs et définitions sont accompagnés de démonstrations.
Apparaît ensuite ce que Bombelli désigne par piu di meno et meno di meno que l’on peut supposer signifier « plus (racine) de moins » et « moins (racine) de moins ». Il définit ensuite le binomio que nous écrivons maintenant a + bi et son residuo c’est à dire son conjugué a – bi. Ces définitions sont suivies de celles de leur multiplication, division, addition et soustraction., puis d’opérations avec des expressions contenant racines et des imaginaires.
Dans le livre second, il commence par définir l’inconnue qu’il désigne par il Tanto (la quantité) ainsi que ses puissances. Puis il explique les règles de calcul sur les puissances et les expressions composées à partir d’elles (calcul polynomial).
Enfin il donne les méthodes de résolution pour toutes les équations algébriques jusqu’au quatrième degré. C’est pour résoudre le cas irréductible de l’équation du troisième degré qu’il utilise les imaginaires définis au livre I. A noter que les puissances de l’inconnue sont notées de façon exponentielle avec un petit demi-cercle sous les exposants, et Bombelli ne cite pas les solutions négatives.
Comme son prédécesseur Cardan, Bombelli énonce des règles générales.
Le livre trois est un recueil de problèmes allant du premier au quatrième degré où les procédés analytiques sont alliés à l’interprétation géométrique. Il y subsiste encore la tradition médiévale avec les « Dimostratione in linea », « Démonstrations par segments ».
Ce livre 3 contient 143 des 272 problèmes que contient les Arithmétiques de Diophante. Ces exercices ne figurent pas dans le manuscrit
Les livres quatre et cinq contiennent, comme Bombelli l’a promis dans son livre trois, des applications géométriques. Mais ces deux derniers livres ne seront pas connus de ses contemporains ni pendant les deux siècles suivants.
Livre quatre  : algèbre, représentation géométrique des irrationnels, construction géométrique de problèmes algébriques.
Livre cinq  : problèmes de géométrie plane, polyèdres réguliers et semi-réguliers.

Éditions

En italien

  • Deux manuscrits de L’Algebra se trouvent à Bologne : le premier, à la bibliothèque universitaire, contient les livres 1,2 et 3, le second, à l’Archiginnasio, contient les livres 1 à 5.
  • Première édition en 1572, 654 pages, imprimée par Giovanni Rossi. Elle comprend les trois premiers livres, une table et la préface placée au début du livre 3.
  • Deuxième édition en 1579. Téléchargeable
    La comparaison entre manuscrit et édition imprimée fait apparaître l’évolution de Bombelli, en particulier l’influence exercée par sa traduction de Diophante. C’est ainsi qu’il utilise les termes « cosa »et « censo » pour l’inconnue et son carré, dans le manuscrit, alors qu’il utilise les termes « tanto » et « potenza » dans le livre imprimé. Il déclare d’ailleurs « Je me suis résolu à suivre Diophante (comme je l’ai fait pour le reste ».
  • Edition des livres IV et V, extraits d’un manuscrit de 1569, publiés en 1929, par Ettore Bortolotti, dans la collection Per la storia e la filosofla delle matematiche, n° 7 , chez l’éditeur Nicola Zanichelli à Bologne.
  • Edition des livres I à V, Feltrinelli, Milan,1966. Avec une introduction de Forti et une préface de Bortolotti.

En français

  • Bombelli Algebra, fragments, IREM de Rennes, 1996, contient de longs passages de L’Algebra traduits en français par Gérard Hamon, dont certains sont commentés, avec des ajouts de 2015.

Études

  • Bombelli - L’Algebra - Fragments. Les imaginaires, le second degré et quelques autres fragments, Gérard Hamon, IREM de Rennes, 1996. Téléchargeable
  • Faire des mathématiques à partir de leur histoire, tome II, IREM de Rennes, 1995 :
    L’Algebra de Rafael Bombelli (pp. 47-60),
    Calculs de valeurs approchées de racines carrées (pp. 64-66 et 69-70).
    Téléchargeable
  • L’origine algébrique, Anne Boyé, in Images, Imaginaires, Imaginations, une perspective historique pour l’introduction des nombres complexes, IREM, Ellipses, Paris, 1998.

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Sur la Toile aussi

L’image illustrant cet article est la page de titre de l’édition de 1579 de l’Algebra de Bombelli.

Conçu et réalisé par François Goichot et Jean-Paul Guichard, avec le concours de Gérard Hamon (12/2016).


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