Suites et symbole sigma

IREM de Clermont-Ferrand
samedi 6 septembre 2008
par  Tournès, Dominique
popularité : 6%

1. Fiche résumé

  • Titre : Suite et symbole sigma
  • Niveau : Terminale S
  • Domaine : Suites
  • Durée : Préparation à la maison de 30 minutes à 1 heure, travail en salle informatique une heure, rédaction des démonstrations une heure en devoir à la maison.

2. Fiche professeur

2.1. Analyse mathématique

  • Étude de la suite u définie pour tout entier naturel non nul par u_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} k(k-1).
  • Conjecture d’une formule explicite pour u_{n}, et de la nature de la suite w définie pour tout n de N* par w_{n}=u_{n+1}-u_{n}.
  • Démonstration des conjectures.

2.2. Niveau du TP

Classe : Terminale S

Prérequis :

  • Avoir déjà rencontré le symbole \Sigma.
  • Connaissances de première S (suite arithmétique).
  • Raisonnement par récurrence.
  • Savoir tabuler une suite.

Place dans la progression : Cette activité vient donc après d’autres activités dans lesquelles les élèves ont été amenés à tabuler des suites. On aura par exemple pu traiter en révision des notions de première le sujet n°5 de la banque de données de 2007 pour l’épreuve pratique.

2.3. Objectifs

En terme d’apprentissage mathématique :

  • Aider à la maîtrise du symbole \Sigma.
  • Travailler le raisonnement par récurrence, motivé par une conjecture faite par l’élève.
  • Réactiver les connaissances de première (suite arithmétique).

Objectif instrumental :

  • Tabulation d’une suite un peu complexe.

2.4. Scénario d’usage

Cette activité est une adaptation d’un sujet de l’expérimentation de l’épreuve pratique de 2007, qui, tel quel, était beaucoup trop difficile pour une épreuve, mais qui nous a semblé intéressant pour un travail de recherche durant l’année.

L’activité se déroule en trois temps :

  • Dans un premier temps, les élèves ont à faire chez eux (ou au CDI) la partie A. Cette partie permet de s’assurer que les élèves comprennent, au moins partiellement, le sens du symbole \Sigma. Celui-ci est en effet utilisé dans différentes formules, de statistiques entre autres, sans être explicitement au programme en tant que notion à étudier. La tabulation de la suite est difficile pour les élèves : il est préférable de leur laisser un temps libre pour y réfléchir, le calcul des trois premiers termes leur permettant de tester la validité de leur tabulation. La tabulation proposée dans le fichier est celle qui nous a parue la plus simple pour les élèves, faisant intervenir plusieurs colonnes qui permettent de décomposer le calcul un peu complexe. Certains élèves en ont cependant proposé de plus synthétiques. La synthèse se fait au début de la séance en salle informatique.
  • La deuxième partie en salle informatique vise à faire les conjectures qui seront ensuite démontrées. La première question est résolue après un temps plus ou moins long par les élèves, selon leur familiarité avec les nombres. Pour certains, il est en effet difficile de passer de 2,66666…. à 2+\frac{2}{3} et donc à \frac{8}{3}.
    La deuxième question par contre se révèle très difficile pour les élèves, à nouveau en raison de leur peu de familiarité avec les nombres, et malgré les conseils ajoutés par rapport à la version originale. Certains ont utilisé en physique des courbes de tendance et obtiennent sans problème celle-ci. Attention, d’autres obtiennent parfois l’équation y=x^2+2\text{E-13}x-1 qui les laisse perplexes…
    La troisième question de cette partie expérimentale ne pose pas de réel problème, surtout si d’autres activités informatiques ont été faites en révision des connaissances de première (suites arithmétiques et suites géométriques). Pour certains élèves, l’heure permet à peine d’arriver aux conclusions demandées, ce qui justifie le travail préparatoire. D’autres par contre auront pratiquement terminé les démonstrations à la fin de l’heure.
  • La troisième partie (démonstration des conjectures) fait l’objet d’un travail à la maison, par exemple sous forme d’un devoir à rendre. Les élèves réussissant sans aide (à part celle donnée dans l’énoncé) à traiter la première question ont réellement compris le sens du symbole \Sigma, et c’est un des intérêts que nous avons trouvé à cette activité. Le résultat étant donné, les autres peuvent néanmoins terminer les démonstrations qui ensuite ne présentent pas de difficulté particulière.

3. Fichiers

Apport des TICE : La compréhension de la recopie nous semble intimement liée à la compréhension de la notion de suite et, à ce titre, l’utilisation des TICE ne peut qu’aider à cette compréhension. Par ailleurs, l’élève est amené à formuler trois conjectures, ce qui semble impossible ici sans l’outil informatique. Il devra donc démontrer non pas des propriétés données par l’enseignant, mais des propriétés qui auront été observées et renforcées grâce au tableur.

4. Compte-rendu d’expérimentation

Lire le paragraphe 2.4. Scénario d’usage.


Documents joints

suite et sigma eleve.pdf
suite et sigma corrige.pdf
suite et sigma tableur.xls

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