Brève n°15 : La convergence de suites et de fonctions : une question d’enseignement résistante à l’université

lundi 28 janvier 2019
par  Menini, Chantal
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De 1990 à 2017, d’une brochure de la CI2U à une autre : la convergence de suites et de fonctions, une question d’enseignement résistante à l’université.

Dans la brochure de la Commission Inter-IREM Université (CI2U) de 1990 « Enseigner autrement les mathématiques en DEUG A première année » deux chapitres étaient consacrés à la convergence des suites.

Brochure CIIU 1990

Dans l’un d’eux, on y confrontait deux approches, exposées respectivement par Gilles Germain et par Aline Robert. La première reposait sur l’idée de prolonger le maniement des suites tel qu’il était fait en terminale, en évitant toute rupture, et en privilégiant l’intuition et les calculs. La seconde consistait à attaquer de front le concept de convergence, en utilisant des situations problèmes en travaux dirigés avant le cours, destinées à introduire le concept en le faisant apparaître comme un outil nécessaire.
Dans l’autre Marc Rogalski y présentait un enseignement de méthodes pour étudier la convergence d’une suite.

Brochure CIIU 2017

La récente brochure (2017) de la Commission Inter-IREM Université « Limites de suites réelles et de fonctions numériques d’une variable réelle : constats, pistes pour les enseigner » fait suite , entre autre, à un travail de la commission qui relevait le défi de savoir si d’anciennes ingénieries (dont celle de Aline Robert) sont encore efficaces pour l’apprentissage de la notion de convergence par les étudiants scientifiques de première année d’université. La commission a aussi saisi l’occasion de ce travail pour y joindre plusieurs études de la commission sur la convergence de suites comme de fonctions , qui avaient déjà été développées à un moment ou un autre. Elle les complète par des propositions de méta-discours possibles que l’on peut tenir aux étudiants autour de ces notions.

Si on essaye de faire un bilan de l’évolution des travaux sur la convergence entre les deux brochures de la CI2U entre 1990 et 2017, on constate en particulier que

  • la notion de convergence, qu’il s’agisse des suites ou des fonctions, reste un point délicat pour de nombreux étudiants. Des représentations efficaces et des représentations « bloquantes » cohabitent longtemps chez eux, l’usage des quantificateurs reste un obstacle sérieux ;
  • si la mise en œuvre des scénarios anciens semble encore efficace, elle reste fondée sur l’idée que « la formalisation est un bon moyen pour élaborer des preuves », dont il n’est pas sûr qu’elle fournisse aux étudiants une bonne motivation ;
  • une présentation complémentaire fondée sur l’idée d’approximation des nombres (en particulier d’irrationnels par des rationnels) demande à être sérieusement testée. Peut-elle éclairer les étudiants sur le bien fondé de l’utilisation des quantificateurs dans la formalisation de la notion de convergence ?

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