Récurrence et recopie : une progression sur les suites avec un tableur

Claire Petitjean, IREM Paris 7 (travail en cours)
mardi 9 septembre 2008
par  Tournès, Dominique
popularité : 3%

Cette étude vise à dégager une méthodologie pour l’apprentissage des suites récurrentes en terminale S à l’aide d’un tableur, en s’appuyant sur l’analogie entre la fonction de recopie du tableur et la définition des suites récurrentes. Il est proposé une progression sous la forme de quatre séances de travaux pratiques.

La fonction de Recopie du tableur aide les élèves à manipuler des suites définies par récurrence. Bien entendu, la fonction de Recopie n’est pas seulement destinée aux suites définies par récurrence : si la formule recopiée fait référence à une cellule à côté et qu’on recopie vers le bas, il ne s’agit pas de récurrence. Par contre si la formule fait référence à une cellule située au-dessus, la suite de valeurs est construite par récurrence.

Les suites où chaque terme est une fonction affine du précédent (suites arithmético-géométriques) constituent des exercices classiques et les élèves arrivent sans peine à en programmer le calcul avec le tableur. Il est à noter cependant que, lorsque l’expression du terme général de la suite en fonction de n est aussi disponible, une bonne partie des élèves choisissent cette expression pour leurs calculs.

Les élèves peinent davantage quand la formule de récurrence à recopier fait référence non seulement à la cellule au dessus mais aussi à une autre cellule. Par exemple, le calcul de la somme des termes d’une suite leur pose souvent des problèmes. Il faut dire qu’il y a là un travail de transformation de la définition pour passer de S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n} à S_{n}=S_{n-1}+u_{n}. Cette transformation qui permet à l’élève de mieux comprendre la définition est d’ailleurs l’un des intérêts du tableur par rapport à la calculatrice.

En terminale un exemple de progression sur tableur pourrait être :

  • Si nécessaire, un premier TP d’introduction sur les formules, la recopie, le rôle du symbole $, le graphique (voir le TP1 dans l’annexe à télécharger).
  • En deuxième lieu, un TP sur les sommes (par exemple un TP sur les suites hongroises).
  • Un TP où les termes de deux suites numériques définies par récurrence vont constituer les abscisses et les ordonnées d’un nuage de points (voir en annexe le TP3 sur la méthode d’Euler).
  • Un TP sur une suite définie avec une somme, mais dont le calcul nécessite des colonnes auxiliaires que l’élève doit prendre l’initiative de créer (voir le TP4 en annexe : sujet 25 de l’expérimentation 2007).

Documents joints

Annexes_SujetsAvecRecopie

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