Cardan

mercredi 2 novembre 2016
par  Guichard, Jean-Paul
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CARDAN Jérôme (Girolamo Cardano, Hieronymus Cardanus), 1501 - 1576

Ars Magna (Artis Magnæ, Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus, Le Grand Art, ou des règles algébriques), 1545.

Ce livre a fait date car il contient le premier exposé imprimé de la résolution algébrique par radicaux des équations du troisième et du quatrième degré. On y trouve les formules dites de Cardan. Dans ce texte apparaît pour la première fois l’écriture de la racine carrée d’un nombre négatif. La parution de l’Ars Magna fut l’objet d’une querelle de priorité entre Cardan et Tartaglia qui a marqué l’histoire des mathématiques.

Contenu

Dans ce livre de quarante chapitres, Cardan expose sa découverte des solutions de toutes les équations de degrés trois et quatre, en démontrant géométriquement toutes les règles données, et en les illustrant sur des exemples. Il fait la part des choses et indique ce qui est de lui, ce qui est de Scipion del Ferro et de Tartaglia, et ce qui est de son élève Ferrari.
Au chapitre I, Cardan rappelle qu’il y a deux nombres qui ont le même carré, l’un positif (vrai). l’autre négatif (faux), et il en tient compte pour trouver les racines des équations. Il montre cela sur de très nombreux exemples.
Au chapitre II, il fait un classement des différents types d’équations de degrés 2 et 3.
Aux chapitres III et IV, il donne les solutions pour les cas simples, ou des cas particuliers.
Au chapitre V, il donne la solution des 3 formes d’équations du second degré, accompagnée de 10 problèmes.
Dans les chapitres VI à X, il donne des méthodes pour résoudre différents types d’équations, en cherchant des liens entre racines et coefficients de l’équation, en transformant les équations pour les ramener à des types connus. ou des systèmes de deux équations pour obtenir une équation à une inconnue.
Les chapitres XI à XXIII sont le cœur de l’ouvrage : la résolution des 13 types d’équations de degré 3 (ne se ramenant pas à des cas simples) en commençant par le type x^3 + px = q, le cas qu’avait résolu Tartaglia, et aussi, selon Cardan, Scipion del Ferro.
Dans les chapitres suivants on trouve des règles pour résoudre des équations ou systèmes d’équations se ramenant au degré 2, 3, 4 ou parfois plus.
Au chapitre XXX Cardan donne comme méthode l’approximation des racines.
Au chapitre XXXVII apparaît un problème quadratique classique dont la résolution se termine par l’écriture de la racine carrée d’un nombre négatif. Mais Cardan n’utilise pas ceux-ci pour la résolution générale des équations du troisième degré : ce sera l’œuvre de Bombelli.
Le chapitre XXXIX concerne la résolution des équations de degré 4 : Cardan fait la liste des 20 types d’équations qu’on ne savait pas résoudre, donne et démontre la méthode de Ferrari, et l’illustre sur de nombreux exemples.

Éditions

En latin

  • Ars Magna, première édition, Petreius, Nuremberg, 1545.
    Hieronymi Cardani ... Artis magnae, sive de regulis algebraicis, liber unus : qui & totius operis de arithmetica, quod opus perfectum inscripsit, est in ordine decimus. Disponible sur e-rara
  • Ars Magna, Henric Petrina, Bâle, 1570.
    Hieronymi cardana... opus novum de proportionibus numerorum proeterea artis magnae, sive de regulis algebraicis, liber vuvs... item de alisa regula liber...
    Il en existe un exemplaire à la BM de La Rochelle.
  • Ars Magna, in Œuvres complètes, J. Aat. Huguetan et M. Ant. Ravaud, Lyon 1663.
    Hieronymi Cardani... opera omnia... cura caroli Sponii... , Volume 4. Téléchargeable.

En traduction anglaise

  • The great art, or, The rules of algebra , Translated and edited by T. Richard Witmer. With a foreword by Oystein Ore, Cambridge, M.I.T. Press , 1968.
    Traduction faite à partir de l’édition de 1545, avec des additions de celles de 1570 et 1663. Téléchargeable

En traduction française (traduction à contrôler)

  • Ars magna, sive de regulis algebraicis liber unus, Nuremberg, 1545, trad. : Le grand art ou Les règles algébriques, traduit pour la première fois du latin en français, par Jean Peyroux, Bordeaux et Paris, diff. A. Blanchard, 2005.

Études

  • L’origine algébrique, Anne Boyé, in Images, Imaginaires, Imaginations, une perspective historique pour l’introduction des nombres complexes, IREM, Ellipses, Paris, 1998.
  • Niccolò Tartaglia. Questions et inventions diverses Livre IX ou l’invention de la résolution des équations du troisième degré. Niccolò Tartaglia, mathématicien autodidacte de la Renaissance italienne, Hamon Gérard et Degryse Lucette, Hermann, Paris, 2010. Pour approfondir les éléments de la polémique Tartaglia contre Cardan et Ferrari à partir des écrits de Tartaglia.

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Sur la Toile aussi

  • « Dimissis incruciationibus » ou la première apparition d’une racine carrée d’une quantité moindre que zéro, Denis Daumas IREM de la Réunion. On trouvera dans ce texte un extrait du chapitre 37 avec sa traduction en français.
  • Girolamo Cardano (Jérôme Cardan), Artis Magnae, Gérard Hamon. Un problème du second degré extrait du chapitre 5 de l’Ars Magna de Cardan. IREM de Rennes.
  • La formule de Cardan, avec le poème de Tartaglia qui donne sa méthode de résolution pour l’équation x^3 + px = q : Université Joseph Fourier, Grenoble.
  • Histoire de l’équation cubique et de sa résolution à la Renaissance sur Wikipédia

L’image illustrant cet article provient du site MacTutor.

Conçu et réalisé par François Goichot et Jean-Paul Guichard, avec le concours de Gérard Hamon (11/2016).


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