Euler

lundi 11 juillet 2016
par  Goichot, François
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Leonhard Euler (1707 - 1783)

Introduction à l’analyse infinitésimale (Introductio in analysin infinitorum), 1748

Le concept de fonction et l’utilisation d’infinitésimaux avaient émergé au 17e siècle, mais c’est l’Introductio d’Euler qui en a fait les fondements d’un nouveau domaine des mathématiques : l’analyse. Dans cet ouvrage, Euler traite du développement en série des fonctions, en particulier des fonctions exponentielles, logarithmes et trigonométriques. Il donne les célèbres formules qui relient les fonctions trigonométriques aux exponentielles imaginaires. Puis il applique les outils développés à l’étude des courbes et à leur classification.

Contenu

Table des chapitres du Tome premier
1. Des fonctions en général,
2. De la transformation des fonctions,
3. De la transformation des fonctions par substitution,
4. Du développement des fonctions en séries infinies,
5. Des fonctions de deux ou plusieurs variables,
6. Des quantités exponentielles & des logarithmes,
7. Du développement des quantités exponentielles & logarithmiques en séries,
8. Des quantités transcendantes qui naissent du cercle,
9. De la recherche des facteurs trinômes,
10. De l’usage des facteurs trouvés auparavant pour la sommation des séries infinies,
11. Des autres expressions infinies des arcs & des sinus,
12. Du développement réel des fonctions fractionnaires,
13. Des séries récurrentes,
14. De la multiplication & de la division des angles,
15. Des séries résultantes du développement des facteurs,
16. De la partition des nombres,
17. De l’usage des séries récurrentes dans la recherche des racines des équations,
18. Des fractions continues.

Table des chapitres du Tome second
1. Des lignes courbes en général,
2. Du changement des coordonnées,
3. De la division des lignes courbes algébriques en ordres,
4. Des principales propriétés de chaque ordre de lignes,
5. Des lignes du second ordre,
6. De la subdivision des lignes du second ordre en genres,
7. De la recherche des branches infinies,
8. Des asymptotes,
9. De la subdivision des lignes du troisième ordre en espèces,
10. Des principales propriétés des lignes du troisième ordre,
11. Des lignes du quatrième ordre,
12. De la figure des lignes courbes,
13. Des affections des lignes courbes,
14. De la courbure des lignes courbes,
15. Des courbes qui ont un ou plusieurs diamètres,
16. De la manière de trouver les courbes par la connaissance de quelques propriétés des appliquées,
17. De la manière de trouver les courbes en vertu d’autres propriétés,
18. De la similitude & de l’affinité des lignes courbes,
19. De l’intersection des courbes,
20. De la construction des équations,
21. Des lignes courbes transcendantes,
22. Solution de quelques problèmes relatifs au cercle,

TRAITÉ ABRÉGÉ DES SURFACES
1. Des surfaces des corps en général,
2. Des sections des surfaces faites par des plans quelconques,
3. Des sections du cylindre, du cône et de la sphère,
4. Du changement des coordonnées,
5. Des surfaces du second ordre,
6. De l’intersection de deux surfaces.

Lorsqu’Euler publie l’Introductio in Analysin infinitorum en 1748, il est depuis sept ans à l’Académie de Berlin présidée depuis 1746 par Maupertuis. À cette date il avait déjà acquis une grande célébrité, ayant gagné le grand prix de l’Académie de Paris en 1738 et 1740.
À la fin du 17ème siècle, sous l’impulsion de Leibniz, la géométrie analytique mise en place par Descartes s’était élargie en un calcul sur des infinitésimaux, non sans difficultés, car dépassant a priori les possibilités d’une intuition géométrique et figurée. Ce nouveau calcul était aussi qualifié d’ « Analyse » comme par exemple dans l’ouvrage de l’Hospital publié en 1696 : L’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes. Euler n’est donc pas le premier à utiliser le terme d’ « Analyse » mais son Introductio marque un tournant dans l’histoire du calcul infinitésimal en ce qu’il rompt l’ancrage de celui-ci dans les figures géométriques qui donnaient jusque là sens et consistance à ses outils. Euler accomplit pour l’analyse ce que Euclide et Al Khwarismi ont fait pour la géométrie et l’algèbre élémentaire, respectivement. Le concept de fonction et l’utilisation d’infinitésimaux avaient émergé au 17ème siècle, mais c’est l’Introductio d’Euler qui les a façonnés en ce troisième domaine autonome du triptyque comprenant la géométrie, l’algèbre et l’analyse.
Euler va d’abord développer dans un premier volume le calcul des quantités numériques et algébriques par l’intermédiaire de l’étude des fonctions. L’étude des courbes géométriques interviendra dans un second volume. Le calcul différentiel proprement dit n’intervient dans aucun des deux volumes, il fera l’objet d’un traité ultérieur. Ici il s’agit d’une analyse infinitésimale, c’est-à-dire qui utilise explicitement un calcul sur l’infini, sans recours à la notion de limite.
L’innovation que représente le premier volume ne réside pas seulement dans sa rupture avec la géométrie, mais aussi dans l’élaboration et le développement de deux concepts abstraits et formels, permettant d’inscrire l’analyse dans une démarche purement logique et déductive. Ces deux concepts sont la variable et la fonction, étudiée dans ses transformations et ses développements en séries infinies.
La formule du binôme est admise au début de l’ouvrage, Euler l’utilise pour établir les développements en série des fonctions transcendantes ; dans ces calculs il investit un nombre infiniment grand i manipulé comme s’il s’agissait d’un nombre ordinaire, combiné à un nombre infiniment petit ω, et de telle façon que i\omega = z soit fini. Alors le développement de a^z = a^{i\omega} = (a^{\omega})^i est obtenu à partir du développement de (1+\frac{kz}{i})^i, en remarquant que \omega étant infiniment petit, a^\omega est proche de 1 et peut s’écrire 1+k \omega, k étant une constante qui dépend de a.
L’Introductio contient le premier traitement algorithmique des logarithmes en tant qu’exposants, et des fonctions trigonométriques en termes purement numériques. Détaillant systématiquement toutes les formules d’angles multiples et les périodicités, Euler en déduit de façon purement analytique leurs développements en séries entières et en produits infinis. Il donne les célèbres formules dites d’Euler qui relient les fonctions trigonométriques aux exponentielles imaginaires ainsi qu’un exposé des fractions continues.
Le second volume peut alors appliquer les méthodes développées dans le premier à l’étude systématique des courbes, à leur classification en ordres, genres et espèces, au changement de coordonnées, à la similitude et l’affinité des figures étudiées de façon analytique, à la courbure en un point. Comme Newton l’avait fait pour les cubiques, Euler y fait la classification des quartiques selon leur genre. En annexe, il traite des surfaces et classe les surfaces du second ordre.

Éditions

  • Introductio in analysin infinitorum, M.-M. Bousquet & Soc., Lausanne, 1748, 2 vols : tome 1, tome 2
  • traduction française : Introduction à l’analyse infinitésimale par Jean-Baptiste Labey, Barrois aîné, Paris, ans IV-V (1796-1797), 2 vols. Réimpression Jacques Gabay, 2007. En ligne : tome 1, tome 2
  • Leonhardi Euleri Opera Omnia, Soc. Sci. Nat. Helveticæ, Leipzig, Berlin, Basel, 1911. Série 1. Vol. VIII et IX.
  • traduction anglaise : Introduction to Analysis of the Infinite par J. D. Blanton, Springer Verlag, New York, Berlin, etc., 1988-1990, 2 vols.

Pour l’œuvre d’Euler, plus généralement :

N.B. Les œuvres d’Euler ont été cataloguées par Gustav Eneström, de 1910 à 1913. Aussi on les désigne en général par le numéro attribué par Eneström, précédé de la lettre E. Ainsi les deux volumes de l’Introductio ad analysin infinitorum sont répertoriés E101 et E102.

Études

de l’Introductio d’abord :

  • J.-P. Lubet et J.-P. Friedelmeyer, L’analyse algébrique, un épisode clé de l’histoire des mathématiques, Ellipses, Paris, 2014. (en particulier le chapitre II, Euler et les fondements du calcul différentiel).
  • J.-P. Friedelmeyer, Euler ou l’art de chercher, découvrir, inventer, Bulletin de l’APMEP n°473, p. 867-879 : la fiche Publimath, l’article
  • J.-P. Friedelmeyer, Perles mathématiques pour un tricentenaire : Euler (1707-1783), Bulletin de l’APMEP, n°477, p. 501 (journées APMEP Besançon, 2008) : la fiche Publimath, l’article
  • C. B. Boyer, The Foremost Textbook of Modern Time, The American Mathematical Monthly, Vol. 58, N° 4 (Apr.1951), p. 223 - 226.
  • P. Dugac, Euler, d’Alembert, les fondements de l’analyse et le concept de fonction arbitraire, in Une histoire de l’analyse, Vuibert (2003), p. 55-69.
  • la série How Euler did it d’Ed Sandifer, originellement publiée par Mathematical Association of America, est disponible sur l’archive Euler. L’Introductio a été abordée dans les chroniques de mars, juin, juillet et octobre 2005.

de la vie et de l’œuvre d’Euler, plus généralement :

  • Euler, les mathématiques et la vie, André Warusfel, Vuibert (2009)

Recherche sur les mots-clés « Euler » et « histoire » dans Publimath

Sur la Toile aussi

Sur l’Introductio :

Sur Euler plus généralement :

L’image illustrant cet article provient du site [MacTutor->http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/

Conçu et réalisé par Jean-Paul Guichard et François Goichot, avec le concours de Jean-Pierre Friedelmeyer (5/2017)


Commentaires

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mardi 28 février 2017 à 12h28 - par  Friedelmeyer

1) Il n’est pas juste de dire que Euler introduit la notation f(x) dans « l’introductio ».Lorsqu’il veut parler d’une fonction quelconque, il écrira par exemple « soit y une fonction quelconque de x (partie II chapitre III) ». Ou alors il prendra des fonctions d’un type particulier, polynôme, fraction rationnelle, etc.
2) Si l’on parle de fonctions continues chez Euler, le mot « continue » n’a pas du tout le même sens chez lui que pour nous. Il appelle continue « les courbes dont la nature est définie par une équation (...) comme par une loi » Chez Euler, par exemple, la fonction y=1/x est continue. Il y a toute une longue et ample discussion à l’époque sur la question des fonctions continues ou discontinues (celles qui sont définies par exemple par plusieurs équations)

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