Desargues

jeudi 27 octobre 2016
par  Guichard, Jean-Paul
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DESARGUES Girard 1591-1661

Brouillon project , (Brouillon project d’une Atteinte aux evenemens des rencontres du Cone avec un Plan), 1639.

Ce texte peut être considéré comme le premier texte relevant de la géométrie projective, bien que les techniques de démonstration qui y sont employées soient celles de la géométrie « euclidienne » la plus classique (comparaison d’aires, comparaison de rapports, ...). On y trouve le célèbre théorème de Desargues. C’est en référence au contenu de ce traité que l’on parle de géométrie arguésienne, de plan arguésien. Voici ce que dit Chasles dans son Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie (1837) : « On doit à M. Poncelet d’avoir, le premier, dans son Traité des propriétés projectives apprécié ce véritable et profond géomètre, et de l’avoir reconnu, sous le titre mérité de « Monge de son siècle », comme l’un des fondateurs de la Géométrie moderne. »

Contenu

Le but principal poursuivi par Desargues est de traiter « par un seul et même discours » tous les problèmes concernant les coniques, quels que soient leurs types et quel que soit le genre de droites (diamètres, tangentes...) qui y interviennent. C’est avec la même volonté de concision et d’universalité que Desargues a conçu et rédigé ses travaux sur la perspective (1636), la gnomonique (l’art des « monstres au Soleil ») (1640) et de stéréotomie (coupe des pierres) (1640), utilisant à foison projections et rabattements.
Le principal outil forgé par Desargues dans le Brouillon project est le théorème appelé maintenant « théorème de Desargues » qui intervient au milieu du traité. Ce théorème permet de caractériser n’importe quelle conique passant par 4 points donnés, par une correspondance (nommée par Desargues involution, seul terme introduit par Desargues qui est demeuré dans le vocabulaire des mathématiques) entre les points définis par n’importe quelle sécante à la conique. Ce résultat a été préparé en amont par Desargues par une étude assez précise et complète de l’involution sur une droite et l’a conduit, en aval, à utiliser les notions réciproques de pôle et polaire par rapport à une conique qui permettent de traiter tous les problèmes classiques.
Son ambition généralisatrice et la nature mathématique de ses outils l’amènent à définir le point à l’infini d’une droite, la droite à l’infini d’un plan, les faisceaux de droites et de plans etc.
La démonstration du « théorème de Desargues » est un bon exemple des méthodes arguésiennes. Desargues le démontre d’abord dans le quadrangle complet à l’aide de raisonnements sur des triangles et d’une utilisation intensive du théorème de Menelaüs. Il passe ensuite au cas du cercle en utilisant la notion de puissance d’un point par rapport à un cercle, puis transmet le résultat à une conique quelconque par une démonstration par perspective, la conservation par projection centrale de l’involution ayant été démontrée dans la première partie.
Si le Brouillon project ne produit pas de résultat jusque là inconnu sur les sections coniques, il en donne une vision et une méthode d’étude qui constituent la contribution essentielle de Desargues à l’émergence au 19e siècle de la géométrie projective.

Présentation modifiée à partir de celle publiée dans les Actes du Colloque Histoire et enseignement des mathématiques. Pacy sur Eure 5-6 Juin 1981. Le Brouillon Project. p. 81-98.

Éditions

  • Brouillon project d’une Atteinte aux evenemens des rencontres du Cone avec un Plan, Par L,S,G,D,L. Avec Privilège. Paris 1639.
    Publié à cinquante exemplaires par Le Sieur Girard Desargues Lyonnais, pour ses amis. Leibniz vers 1675 en cherche vainement un exemplaire. Michel Chasles en achète un qui est en fait une copie -incomplète- faite par Philippe de La Hire en 1679.
    En 1951, René Taton peut publier le texte à partir d’un original non catalogué, relié dans un exemplaire factice, que P. Moisy, historien de l’architecture, vient de retrouver par hasard à la Bibliothèque Nationale. Disponible sur Gallica (BNF)

Édité dans :

  • Œuvres de Desargues, réunies et analysées par N.-G. Poudra, 2 Tomes. Leiber, Paris 1864. Disponible sur Gallica (BNF). Le texte du Brouillon project selon la copie de La Hire, le commentaire de la Hire et la transcription « en style moderne » de Poudra se trouvent dans le tome 1, pp.103-238.
  • L’œuvre mathématique de G. Desargues. R. Taton. PUF, Paris 1951, pp. 99-180, 2° édition avec postface, J. Vrin, Paris 1981 et Institut Interdisciplinaire d’Études Épistémologiques, Lyon 1988.

Recherche des œuvres imprimées de Desargues numérisées, sur le site LiNuM

Études

  • Découverte d’un exemplaire original du « Brouillon project » sur les Coniques de Desargues, R. Taton, Revue d’histoire des sciences et de leurs applications Année 1951 Volume 4 Numéro 2 pp. 176-181. Persée
  • La naissance du projectif. De la perspective à la géométrie projective. R. Bkouche. In Actes de la 4e Université d’Été de la commission Inter-IREM Épistémologie et Histoire des Mathématiques, La Rochelle 1988, pp. 29-78. IREM de Poitiers 1990. Partiellement repris in Mathématiques et Philosophie de l’Antiquité à l’Âge classique, pp. 239-285. Édité par R. Rashed, Éditions du CNRS , Paris 1991.
  • Le projectif ou la fin de l’infini. R. Bkouche. Actes du 9e colloque Inter-IREM Épistémologie et Histoire des Mathématiques, Landerneau 22-23 mai 1992, pp.473-518. Histoire d’Infini. IREM de Brest, 1994.
  • L’héritage arguésien. D. Lanier et J.-P. Le Goff, in Scholies, Actes du SIHS, n° 7, Février 1989 et n° 8, Juin 1989. Réédition in Cahiers de la perspective, n° 5. IREM de Basse-Normandie, Caen, juin 1991.
  • Quelques aspects de la vie et de l’œuvre de Girard Desargues (1591-1661), ingénieur, architecte et géomètre lyonnais, précurseur de la géométrie projective. J.-P. Le Goff. In Actes du 8e colloque INTER-IREM Épistémologie et Histoire des Mathématiques, 31 mai - 1e juin 1991, pp. 53-116. La figure et l’espace. IREM de Lyon Villeurbanne, 1993. Sur la Toile.
  • Desargues et la naissance de la géométrie projective. J.-P. Le Goff. In Desargues en son temps, pp. 157-206. Sous la direction de J. Dhombres et J. Sakarovitch. A. Blanchard, Paris 1994.
  • Les aspects épistémologiques de la pensée didactique de Desargues : l’usage des exemples génériques. D. Bessot. In Desargues en son temps, pp. 295-312. Sous la direction de J. Dhombres et J. Sakarovitch. A. Blanchard, Paris 1994.
  • Desargues et Pascal. J. Mesnard. In Desargues en son temps, pp. 87-99. Sous la direction de J. Dhombres et J. Sakarovitch. A. Blanchard, Paris 1994.
  • Desargues et Pappus. R. Tossut. In Mnemosyne n°9, IREM de Paris VII, janvier 1995, pp. 19-44. Bibliographie p.42. Figures extraites du « Brouillon project » de Desargues, pp.43-44. Sur la Toile.
  • La méthode à l’œuvre dans le « Brouillon Project »… J.-Cl. Thiénard. In Notion de transformation - Éléments pour une étude historique et épistémologique - Article 1 : La genèse de la notion de transformation. Les premières transformations. IREM de Poitiers, septembre 1994. Article 1. I. La méthode à l’œuvre dans le « Brouillon Project » ou la création de l’outil transformation. II. La postérité immédiate de Desargues. « Le traité des coniques » de Pascal. III. Les continuateurs et les utilisateurs : De La Hire, Le Poivre, Newton. Annexe III. Les définitions du « Brouillon Project... ». Suivie d’une étude de l’involution, et des définitions des coniques comme intersection de cônes à base circulaire et de plans.

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Sur la Toile aussi

  • Brouillon Projet d’une atteinte aux événements des rencontres du Cône avec un Plan, analyse décalée de Didier Nordon. Bibnum
  • L’infini est une droite comme les autres, Erwan Brugallé et Julien Marché. Images des Maths
  • DESARGUES, Grand-Père de la Projective, par Alain Juhel. Mathouriste

L’image illustrant cet article provient du site Mathouriste.

Conçu et réalisé par François Goichot et Jean-Paul Guichard, avec le concours de Didier Bessot (11/2016).


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