Descartes

mercredi 14 décembre 2016
par  Guichard, Jean-Paul
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DESCARTES, René, 1596-1650

La Géométrie, 1637.

Seul ouvrage mathématique de Descartes, publié d’abord comme essai du célèbre Discours de la Méthode, puis de façon indépendante, la Géométrie a eu une réception posthume considérable. Ses notations algébriques sont celles qui se sont imposées à tous à partir de la fin du 17e siècle, et sont globalement celles que nous utilisons actuellement. Sa méthode de résolution des problèmes de géométrie a ouvert les portes du calcul littéral appliqué aux problèmes mathématiques qui s’est imposé, et s’est rapidement généralisé à toutes les branches des sciences. C’est aussi dans ce traité que l’on voit pour la première fois associées de façon systématique courbes géométriques et équations algébriques : c’est la raison pour laquelle on considère que la Géométrie de Descartes est le premier traité de géométrie analytique, même si on n’y trouve pas stricto sensu ce que nous appelons les coordonnées et repères cartésiens.

Contenu

« Tous les Problèmes de Géométrie se peuvent facilement réduire à tels termes, qu’il n’est besoin par après que de connaître la longueur de quelques lignes droites, pour les construire. /…/ voulant résoudre quelque problème, on doit le considérer comme déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes, qui semblent nécessaires pour le construire, aussi bien à celle qui sont inconnues, qu’aux autres. Puis sans considérer aucune différence entre ces lignes connues, et inconnues, on doit parcourir la difficulté, selon l’ordre qui montre le plus naturellement de tous en quelle sorte elles dépendent mutuellement les unes des autres, jusqu’à ce qu’on ait trouvé moyen d’exprimer une même quantité en deux façons : ce qui se nomme une Equation ; car les termes de l’une de ces deux façons sont égaux à ceux de l’autre. » Livre premier, début.

LIVRE PREMIER. Des problèmes qu’on peut construire sans y employer que des cercles et des lignes droites.

Comment le calcul d’Arithmétique se rapporte aux opérations de Géométrie.
Comment se font géométriquement la multiplication, la division et l’extraction de la racine carrée.
Comment on peut user de chiffres en Géométrie.
Comment il faut venir aux équations qui servent à résoudre les problèmes.
Quels sont les problèmes plans, et comment ils se résolvent.
Exemple tiré de Pappus. Réponse à la question de Pappus.
Comment on doit poser les termes pour venir à l’équation en cet exemple.
Comment on trouve que ce problème est plan lorsqu’il n’est point proposé en plus de cinq lignes.

LIVRE SECOND. De la nature des lignes courbes

Quelles sont les lignes courbes qu’on peut recevoir en Géométrie.
La façon de distinguer toutes ces lignes courbes en certains genres, et de connaître le rapport qu’ont tous leurs points à ceux des lignes droites.
Suite de l’explication de la question de Pappus mise au livre précédent. Solution de cette question quand elle n’est proposée qu’en trois ou quatre lignes. Démonstration de cette solution.
Quels sont les lieux plans et solides, et la façon de les trouver tous.
Quelle est la première et la plus simple de toutes les lignes courbes qui servent à la question des anciens quand elle est proposée en cinq lignes.
Quelles sont les lignes courbes qu’on décrit en trouvant plusieurs de leurs points qui peuvent être reçus en Géométrie.
Quelles sont aussi celles qu’on décrit avec une corde qui peuvent y être reçues.
Que, pour trouver toutes les propriétés des lignes courbes, il suffit de savoir le rapport qu’ont tous leurs points à ceux des lignes droites ; et la façon de tirer d’autres lignes qui les coupent en tous ces points à angles droits.
Façon générale pour trouver des lignes droites qui coupent les courbes données ou leurs contingentes à angles droits.
Exemple de cette opération en une ellipse et en une parabole du second genre.
Autre exemple en une ovale du second genre.
Exemple de la construction de ce problème en la conchoïde.
Explication de quatre nouveaux genres d’ovales qui servent à l’Optique.
Les propriétés de ces ovales touchant les réflexions et les réfractions. Démonstration de ces propriétés.
Comment on peut faire un verre autant convexe ou concave en l’une de ses superficies qu’on voudra, qui rassemble à un point donné tous les rayons qui viennent d’un autre point donné. Comment on en peut faire un qui fasse le même, et que la convexité de l’une de ses superficies ait la proportion donnée avec la convexité ou concavité de l’autre.
Comment on peut rapporter tout ce qui a été dit des lignes courbes décrites sur une superficie plate, à celles qui se décrivent dans un espace qui a trois dimensions, ou bien sur une superficie courbe.

LIVRE TROISIEME. De la construction des problèmes solides ou plus que solides

De quelles lignes courbes on peut se servir en la construction de chaque problème.
Exemple touchant l’invention de plusieurs moyennes proportionnelles.
De la nature des équations.
Combien il peut y avoir de racines en chaque équation. Quelles sont les fausses racines.
Comment on peut diminuer le nombre des dimensions d’une équation, lorsqu’on connaît quelqu’une de ses racines.
Comment on peut examiner si quelque quantité donnée est la valeur d’une racine.
Combien il peut y avoir de vraies racines dans chaque équation.
Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies, et les vraies fausses.
Comment on peut augmenter ou diminuer les racines d’une équation.
Qu’en augmentant ainsi les vraies racines on diminue les fausses, ou au contraire.
Comment on peut ôter le second terme d’une équation.
Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies sans que les vraies deviennent fausses.
Comment on fait que toutes les places d’une équation soient remplies.
Comment on peut multiplier ou diviser les racines d’une équation.
Comment on ôte les nombres rompus d’une équation.
Comment on rend la quantité connue de l’un des termes d’une équation égale à telle autre qu’on veut.
Que les racines, tant vraies que fausses, peuvent être réelles ou imaginaires.
La réduction des équations cubiques lorsque le problème est plan.
La façon de diviser une équation par un binôme qui contient sa racine.
Quels problèmes sont solides lorsque l’équation est cubique.
La réduction des équations qui ont quatre dimensions lorsque le problème est plan ; et quels sont ceux qui sont solides.
Exemple de l’usage de ces réductions. Règle générale pour réduire toutes les équations qui passent le carré de carré.
Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de trois ou quatre dimensions.
L’invention de deux moyennes proportionnelles.
La division de l’angle en trois.
Que tous les problèmes solides se peuvent réduire à ces deux constructions.
La façon d’exprimer la valeur de toutes les racines des équations cubiques, et ensuite de toutes celles qui ne montent que jusques au carré de carré.
Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les sections coniques, ni ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées.
Façon générale pour construire tous les problèmes réduits à une équation qui n’a point plus de six dimensions.
L’invention de quatre moyennes proportionnelles.

Éditions

  • La Géométrie, in Discours de la Méthode pour bien conduire sa raison et trouver la vérité dans les sciences. Plus La Dioptrique Les Météores et La Géométrie qui sont des essais de cette Méthode, pp. 297-413. Leyde, Jean Maire, 1637. Edition originale, disponible sur Gallica.
  • La Géométrie, in DESCARTES, Œuvres complètes. Publiées par Ch. Adam & P. Tannery, Éd. du Cerf, Paris 1897-1913. Réédition Vrin 1996, vol. VI, pp. 367-485.
  • La Géométrie, in Discours de la Méthode, plus la Dioptrique, les Météores et la Géométrie qui sont des essais de cette Méthode. Corpus des œuvres de philosophie en langue française, pp. 331-432. Fayard 1986.
  • La Géométrie. DESCARTES. Éditions Gabay, Paris, 1991. Reprint de la Nouvelle Edition de la Librairie Scientifique A. Hermann, Paris 1886. Disponible sur Gallica.
  • La Géométrie de René Descartes : facsimile de l’édition originale accompagné du texte en typographie actuelle, copiable, sur wikisource.
  • Descartes - La Géométrie. ACL - Les éditions du Kangourou Paris, 2009 Collection : Les classiques Kangourou. Des extraits choisis, présentés et commentés par André Deledicq. Fiche Publimath

Recherche des œuvres imprimées de Descartes numérisées, sur le site LiNuM

Études

  • La signification historique de la géométrie de Descartes. P. BOUTROUX, in Revue de Métaphysique et de Morale, 1914. Publication 2003, disponible sur le site de la Bibliothèque des Editions VIGDOR.
  • Sur la géométrie de Descartes. IREM de Rouen, in La rigueur et le calcul. Documents historiques et épistémologiques, par le groupe INTER-IREM Epistémologie et Histoire des Mathématiques, pp. 80-101, Cedic 1982.
  • La géométrie de Descartes. J. ITARD, 1956. In Essais d’Histoire des Mathématiques, pp. 269-278. Réunis et introduits par R. RASHED. Blanchard, Paris 1984.
  • La géométrie de Descartes. Construction à la règle et au compas. A. DAHAN-DALMEDICO et J.-L. CHABERT, IREM de Picardie, Saint-Quentin, 1986.
  • Mathématique et métaphysique chez Descartes. J. VUILLEMIN. 1° éd. PUF, Paris 1960, 2° éd. PUF, Paris 1987.
  • La querelle entre Descartes et Fermat. M. GRÉGOIRE. Séminaire “Autour de l’histoire du calcul différentiel” (J.-L. Verley). MNEMOSYNE. N° 2, pp. 29-57, IREM de Paris VII décembre 1992. Disponible sur la Bibliothèque numérique des IREM et de l’APMEP
  • L’irruption du mouvement dans la géométrie du XVII°. J.-Cl. THIÉNARD. In Notion de transformation - Éléments pour une étude historique et épistémologique - Article 5 : le problème de mouvement en géométrie, III et Annexes IV ( Géométrie de Descartes. Livre II) et V Des lignes recevables en géométrie(). IREM de Poitiers, janvier 1995.
  • Descartes et les mathématiques. E. BARBIN, in Les philosophes et les mathématiques. Coordonné par E. BARBIN et M. CAVEING, pp. 43-65. Ellipses, Paris 1996.
  • La Géométrie de Descartes et la distinction entre courbes géométriques et courbes mécaniques. R. RASHED, in Descartes et le Moyen Âge, J. BIARD, R. RASHED éd, Vrin, Paris 1997.
  • La méthode analytique de Descartes et l’évidence comme détermination de la vérité. É. BARBIN, & Lecture en classe de la Géométrie de Descartes. M. HALLEZ et M-F. JOZEAU, Actes du 11e colloque INTER-IREM Épistémologie et Histoire des Mathématiques, Reims 10-11 mai 1996, pp.79-113. Analyse et démarches analytiques - Les neveux de Descartes. IREM de Reims, 1998. Disponible sur la Bibliothèque numérique des IREM et de l’APMEP.
  • Pourquoi les contemporains de Descartes n’ont-ils pas compris sa Géométrie de 1637 ? É. BARBIN, Actes du 18e colloque INTER-IREM Épistémologie et Histoire des Mathématiques, Caen 28-29 mai 2010, p. 449-479. Circulation, transmission, héritage, IREM de Basse-Normandie, Caen, 2011.

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Sur la Toile aussi

  • Le site de Patrice Debart : La Géométrie de Descartes.
  • Le Livre Premier de La Géométrie de Descartes, par André Warusfel, sur bibnum, 2009.
  • La naissance de la géométrie analytique : la Géométrie de Descartes (1637), IREM de Rennes. Un travail avec des élèves de terminale.
  • La preuve cartésienne de la quadrature du cercle, par Davide Crippa, sur Culturemath, 2009.
  • Vidéo : Descartes et la Géométrie, Exposé de Vincent Jullien. É.N.S. à Fontenay/Saint-Cloud, 1998.
  • Vidéo : Construction de courbes et résolution d’équations dans la géométrie de Descartes. Une conférence d’André Warusfel à l’IREM de Paris 7, 2006.
  • L’œuvre mathématique de Descartes dans La Géométrie, par André Warusfel, en ligne
  • La théorie des courbes et des -équations dans la
    Géométrie cartésienne : 1637-1661
    . par Sébastien Maronne, sur Hal.

L’image illustrant cet article : René Descartes, d’après Frans Hals.

Conçu et réalisé par François Goichot et Jean-Paul Guichard, avec le concours de Evelyne Barbin (12/2016).


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