Gauss

mardi 28 février 2017
par  Goichot, François
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GAUSS, Carl Friedrich 1777-1855

Recherches générales sur les surfaces courbes, 1828

Cet ouvrage est une pierre angulaire dans l’histoire de la géométrie différentielle, la branche des mathématiques où les méthodes de l’analyse sont appliquées à la géométrie. L’approche intrinsèque de Gauss à la théorie des surfaces est très originale pour l’époque, et permet de regarder la surface en tant qu’objet indépendant et non comme la frontière d’un solide. Gauss introduit dans ce mémoire des concepts fondamentaux que Riemann et ses successeurs vont généraliser aux cas des variétés à n dimensions.

Contenu

Gauss définit sur la surface courbe un système de coordonnées curvilignes, de manière similaire aux coordonnées cartésiennes dans le plan. Ensuite, Gauss définit un petit élément de longueur qu’il appelle la « première forme fondamentale », on dit maintenant élément linéaire. Son élève, Riemann, va généraliser ce concept au cas d’une variété à n dimensions en introduisant ce qui, en termes modernes, est le tenseur métrique. Finalement, Gauss donne dans ce mémoire la définition de courbure d’une surface courbe, qui sera généralisée par Riemann et ses successeurs et deviendra le tenseur de courbure bien connu des mathématiciens d’aujourd’hui, et aussi utilisé en théorie de la relativité.

Éditions

  • Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1828, Göttingen ; in Werke, 12 vols., Göttingen, 1863-1933.
  • La première traduction française de l’ouvrage de Gauss est parue dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, vol. 11, 1852, pp. 195-251. Le traducteur est anonyme. Cette traduction est disponible sur Gallica.
  • Recherches générales sur les surfaces courbes, traduction par Émile Roger, 1855, Prud’homme, Grenoble. Disponible sur archive.org

Recherche des œuvres imprimées de Gauss numérisées, sur le site LiNuM

Études

  • Hombeline Languereau & Claude Merker, Le mémoire de Gauss sur les surfaces courbes et la naissance de la géométrie différentielle intrinsèque, Irem de Besançon, 2004. Fac-similé disponible sur le site Bibliothèque numérique des IREM et de l’APMEP
  • Rossana Tazzioli, Gauss. Prince des mathématiques, Pour la science, N. 36, 2008. En particulier le chapitre « Surfaces courbes et géométries ».

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L’image illustrant cet article provient du site MacTutor

Conçu et réalisé par François Goichot et Jean-Paul Guichard, avec le concours de Rossana Tazzioli (3/2017).


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