Lagrange

mardi 28 février 2017
par  Goichot, François
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LAGRANGE, Joseph-Louis 1736-1813

Théorie des fonctions analytiques, 1797

Ce traité est issu de l’enseignement de Lagrange à l’École Polytechnique de 1795 à 1799. Près d’un siècle après son invention, le calcul différentiel et intégral continuait à présenter des difficultés importantes quand il s’agissait d’en donner un exposé cohérent. En particulier, la définition des différentielles nécessitait un recours à l’infini difficile à contourner. Dans ce traité, Lagrange entend manipuler les fonctions par leur seul développement en séries entières selon des méthodes qu’il qualifie de purement algébriques. La formule de Taylor apparaît alors comme le fondement de l’Analyse, les fonctions dérivées, avec les notations en accents que nous connaissons aujourd’hui, sont utilisées pour la première fois dans un traité destiné à une large diffusion.

Contenu

Une première partie donne « l’exposition de la Théorie avec ses usages dans l’Analyse ». On y trouve les développements en séries des fonctions élémentaires. Puis généralement, Lagrange envisage une fonction de la variable x qu’il note fx, il considère qu’elle se développe sous la forme
(1)         f(x+i) = fx + p\, i + q\, i^2 + r\, i^3 +\ldots

La fonction dérivée est alors définie comme le coefficient du premier terme de ce développement, soit f’x=p. Puis, au moyen de manipulations sur les séries, Lagrange montre que la dérivée de la fonction p=f’x n’est autre que p’=2q , et ainsi de suite ; les dérivées successives de la fonction f se trouvent ainsi reliées aux coefficients du développement (1), pour constituer finalement les coefficients de la formule de Taylor. Une étude profondément originale permet d’exprimer, puis de majorer le reste de la série de Taylor.
Cette introduction des dérivées est utilisée pour exposer une théorie élémentaire des équations différentielles (nombre de constantes arbitraires, solutions singulières …). Pour les équations linéaires, Lagrange donne la méthode de variation des constantes arbitraires qui permet de passer des solutions de l’ « équation sans second membre »
y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)}+ a_2 y^{(n-2)}+\ldots  +a_n y= 0
aux solutions de l’ « équation complète »
y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)}+ a_2 y^{(n-2)}+\ldots  +a_n y= X
méthode dont il avait donné un exposé systématique dans un mémoire publié à Berlin en 1777.
Puis le concept de dérivée est étendu aux fonctions de plusieurs variables.
Une seconde partie est consacrée à « l’application de la Théorie à la Géométrie et à la Mécanique ». Elle fournit en particulier une théorie des ordres de contact et de l’osculation. Depuis l’avènement du calcul différentiel, chez la plupart des auteurs, une tangente à une courbe était définie comme une droite qui rencontre cette courbe en deux points infiniment voisins ; désireux de renouer avec la rigueur des « anciens géomètres », Lagrange considère qu’« une ligne droite est tangente à une courbe, lorsqu’ayant un point commun avec la courbe, on ne peut mener par ce point aucune droite entre elle et la courbe ».
Une seconde édition voit le jour en 1813. Elle contient quelques modifications. Lagrange introduit une subdivision en chapitres qui clarifie la structure d’ensemble du traité. Les applications à la géométrie et à la mécanique sont traitées dans deux parties distinctes. Entretemps, Lagrange a aussi publié les Leçons sur le calcul des fonctions qui apportent des compléments à la Théorie.

Éditions

  • Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d’infiniment petits ou d’évanouissans, de limites ou de fluxions, et réduits à l’analyse algébrique des quantités finies, Paris, Imprimerie de la République, prairial an V, mai-juin 1797. Disponible sur Gallica
  • Œuvres de Lagrange, J.-A. Serret et G. Darboux éd., 14 vol., Paris, Gauthier-Villars, 1867-1892. (Serret et Darboux modernisent l’orthographe et modifient parfois les notations). (Réimpression par Gabay, Paris, 2007). Disponible sur mathdoc
  • Théorie des fonctions analytiques…, nouvelle édition revue et augmentée, Vve Courcier, Paris, 1813. Disponible sur Google-books
  • Théorie des fonctions analytiques..., 3ème édition revue et suivie d’une note de J.-A. Serret, Bachelier, Paris 1847. Disponible sur archive.org
  • Théorie des fonctions analytiques…, [Œuvres IX], d’après l’édition de 1847. Disponible sur mathdoc

Les Leçons sur le calcul des fonctions, [Œuvres X, p. 3-451], d’après l’édition de 1806, sont aussi disponibles sur mathdoc

Recherche des œuvres imprimées de Lagrange numérisées, sur le site LiNuM

Études

  • Jean-Pierre Friedelmeyer & Jean-Pierre Lubet, L’analyse algébrique, un épisode clé de l’histoire des mathématiques, Ellipses, Paris, 2014. En particulier le chapitre V : la formule de Taylor comme fondement de la Théorie des fonctions analytiques.
  • Christine Phili, Le manuscrit du cours de Lagrange à l’École Polytechnique (1797-1798), dans Aventures de l’Analyse de Fermat à Borel, mélanges en l’honneur de Christian Gilain, Presses Universitaires de Lorraine, Nancy, 2012, p. 337-366.
  • Gert Shubring, Évolution du concept d’infiniment petit aux 18ème et 19ème siècle, dans Histoire d’infini, CII Histoire et Épistémologie des Mathématiques, actes du 9ème colloque, Irem de Brest, 1994, p. 317-326.

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L’image illustrant cet article provient du site MacTutor

Conçu et réalisé par François Goichot et Jean-Paul Guichard, avec le concours de Jean-Pierre Lubet (3/2017).


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