Observation de séquences de nombres : vers une méthodologie

Marie-Jo Schmitt et Bernard Lacolle, IREM de Grenoble
jeudi 3 juillet 2008
par  Tournès, Dominique
popularité : 4%

On trouvera ci-dessous l’introduction de l’article de Marie-Jo Schmitt et Bernard Lacolle.

Pour lire le texte complet, télécharger le fichier proposé en bas de page.

Certaines activités de l’épreuve pratique sont liées à l’observation de séquences de
nombres qui seront en général les valeurs des termes d’une suite : u_{0},u_{1},\dots,u_{n},\dots et les principaux phénomènes à reconnaître/conjecturer/suggérer seront :

  • des propriétés de croissance, décroissance, convergence... ;
  • la reconnaissance de termes de progressions arithmétique, géométrique ;
  • la reconnaissance de termes plus complexes, par exemple de la forme u_{n}=ak^{n}+b ou de la forme u_{n}=an^{2}+bn+c.

Les termes de la suite sont obtenus de différentes manières, souvent par un procédé de
récurrence u_{n}=f(u_{n-1}), mais ce n’est pas systématique.

En fait, il s’agit d’un nombre fini de ces valeurs souvent calculées à l’aide d’un tableur. Ce qui suit s’applique également à des valeurs calculées lors de l’exécution d’un programme et
mémorisées dans un tableau.

L’observation graphique est souvent proposée mais on s’interrogera sur son caractère
un peu hasardeux : reconnaître une parabole est un exercice nécessitant quelques précautions
pédagogiques.

Nous nous proposons ici de suggérer quelques éléments de méthodologie pour reconnaître certaines propriétés d’une séquence de nombres.

Indépendamment des éléments techniques, deux autres questions se posent :

  • la première relève de la perception des nombres machines par les élèves ;
  • la seconde concerne l’idée que peuvent se faire des élèves lorsque l’on étudie des suites à partir d’un nombre fini de termes.

Ces deux questions sont de natures différentes mais chacune assez difficile.


Documents joints

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