L’espérance du Hollandais

ou le premier traité de calcul du hasard
vendredi 11 novembre 2011
par  Guichard, Jean-Paul
popularité : 5%

Les mots espérance, sort, chance, hasard ont-ils la même signification ? Le concept d’espérance a-t-il précédé historiquement celui de probabilité ? Comment la « géométrie » du hasard initiée par Pascal et Fermat au milieu du XVIIème siècle a-t-elle été propagée dans le monde savant ? Pour le savoir, il faut relire le premier traité de calcul du hasard, écrit par Christiaan Huygens en 1657, ainsi que les commentaires ou prolongements de ses lecteurs, depuis Montmort, Bernoulli ou de Moivre jusqu’à Euler, qui font tous un large usage de l’Espérance du Hollandais. Ces lecteurs vont essayer de résoudre les quelques exercices laissés par Huygens à la fin de son traité. En particulier, le plus difficile de ces exercices, « la ruine du joueur », ne voit une solution générale s’élaborer qu’après des tâtonnements et des généralisations successives. Mais, l’expérience montre que la lecture de textes anciens est difficile sans l’aide d’un minimum d¹explications et de jalons historiques : tous les extraits réunis dans cet ouvrage sont donc présentés et mis en perspective ; pour prolonger la lecture, l’ouvrage propose des énoncés d’exercices avec corrigés.


Extrait de l¹introduction :

On situe traditionnellement la naissance du calcul des probabilités avec la célèbre correspondance entre Fermat et Pascal en 1654 à propos du problème des partis. Mais on ajoute généralement que cette nouvelle branche des mathématiques n’est vraiment constituée qu’au début du XVIIIème siècle avec les grands traités de Jacques Bernoulli et d’Abraham de Moivre, en attendant une mathématisation plus conséquente réalisée par Laplace à la fin du siècle. C’est oublier que la correspondance entre Fermat et Pascal n’est pas publiée immédiatement et que le court traité de Pascal sur le sujet n’aborde que le problème des partis. C’est oublier enfin que les grands traités du début du XVIIIème siècle prennent comme point de départ la lecture voire la réédition commentée par Bernoulli du traité publié par Christiaan Huygens en 1656. Il est vrai que ce traité formalise le calcul des probabilités à partir du concept d’espérance et non de celui, plus tardif de probabilité. Après Pascal, Huygens donne ainsi une définition précise, sinon limpide, de l’espérance de gain d’un joueur, qu’il nomme la valeur de sa chance, ainsi que des règles d¹utilisation pratique. Pendant le demi-siècle qui suit, c’est dans ce traité que les mathématiciens apprendront la théorie du hasard. L’histoire du traité de Huygens montre aussi que le travail mathématique se développe autour de problèmes féconds avant même de donner lieu à des discussions théoriques sur les définitions. Les exercices proposés par Huygens à la fin de son traité ont exercé ainsi une profonde influence sur les développements ultérieurs de la théorie. Il nous a semblé intéressant, en restant fidèle au cadre général de la collection, de consacrer un volume au traité de Huygens et à ses premiers lecteurs et commentateurs. On y verra à l’oeuvre les premiers outils du calcul des probabilités, les premières situations exemplaires étudiées, les différentes étapes de la résolution de problèmes.


Ce volume de la collection « Comprendre les Mathématiques par les textes historiques » comporte donc en première partie le texte intégral du traité de Huygens. Une deuxième partie est consacrée aux réponses données par Bernoulli, Montmort et de Moivre aux exercices de Huygens. La plupart de ces textes sont commentés pour en faciliter la lecture et suivis d’exercices, dont nous donnons les corrigés dans une troisième partie. Comme pour tous les ouvrages de cette collection, nous donnons, en annexe, une bibliographie donnant les références des textes utilisés, ainsi qu’un certain nombre d¹ouvrages permettant d’approfondir cette première approche.


Le public visé : Ce nouvel ouvrage de la collection « Comprendre les Mathématiques par les textes historiques » s’adresse à toute personne intéressée par la culture scientifique et technique : étudiant, enseignant, formateur ou simple amateur, curieux de multiplier les éclairages et désireux de comprendre les ressorts de la création mathématique par une approche historique de cette discipline.


Cet ouvrage présente le Traité de probabilités de Huygens : De rationiciis in ludo aleæ. Il est le fruit des travaux en probabilités menés au sein du Cercle d’histoire des sciences de l’IREM de Basse-Normandie. Ce groupe conçoit, depuis 1981, des recueils de textes et des cours d’histoire des sciences mathématiques, tant pour la formation continue que pour la formation initiale (DEUG de sciences, DEUG de philosophie, maîtrise de mathématiques, formation des maîtres en CPR puis à l’IUFM). La conception, les illustrations et la mise en page ont été réalisées par Denis Lanier et Didier Trotoux.


Ellipses, 2006, 176 pages, format : 17,5 x 26


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