Les constructions des nombres réels dans le mouvement d’arithmétisation de l’analyse

vendredi 11 novembre 2011
par  Guichard, Jean-Paul
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Les constructions des nombres réels ne figurent pas toujours au programme de l’enseignement supérieur, et on méconnaît souvent, plus encore, leur contexte et leur genèse, ainsi que les autres recherches concernant le fondement de ces nombres. Ces recherches constituent un mouvement qui eut lieu simultanément en France et en Allemagne à la fin du XIX° siècle, que l’on désigne, à la suite de Félix Klein, par « arithmétisation de l’analyse », et qui inaugure la conception moderne des mathématiques. C’est alors « sous le signe du nombre » que, selon l’expression de Hilbert, les mathématiques furent placées, et c’est à partir des seules opérations arithmétiques que les concepts de l’analyse et les propriétés des fonctions furent définis. Mais loin d’être uniforme ce mouvement prit des directions différentes, voire opposées. Les nombres irrationnels, en particulier, seront rigoureusement construits à partir des nombres rationnels ou, à l’inverse, exclus de l’analyse. Une classification nouvelle des disciplines mathématiques apparaît : l’analyse « arithmétisée » accède au statut de science pure, soit aux côtés de l’arithmétique et de l’algèbre, soit englobant ces deux disciplines.


Cet ouvrage a pour objectif de rassembler les principaux textes originaux qui ont marqué ce mouvement et de faire figurer à côté des grands textes classiques mais difficilement accessibles de Dedekind et Cantor, dont il est proposé des traductions nouvelles, des textes moins connus, mais dont l’intérêt, tant historique que mathématique et philosophique, est manifeste. Chaque texte de référence, traduit en français lorsqu’il s’agit d’un texte en allemand, sera précédé d’une courte biographie de son auteur et d’une introduction destinées à l’éclairer en le situant dans l’œuvre de l’auteur et en le comparant aux autres textes cités.


Jacqueline Boniface est agrégée de mathématiques et docteur en philosophie. Elle enseigne les mathématiques et l’histoire des mathématiques à l’Université Toulouse 2 Le Mirail.


Ellipses, 2002, 176 pages, format : 16,4 x 23,8


Sommaire

Introduction

 

Préambule. Bolzano et le fondement de l’analyse

I. Bernard Bolzano (1781-1848)

II. La place de Bolzano dans le développement de l’analyse

III. Le fondement de l’analyse : Bolzano et Cauchy

IV. La notion de continuité

V. Le théorème des valeurs intermédiaires

VI. Une théorie des nombres réels ?

 

Première partie. La construction des irrationnels par Weierstrass

I. L’école de Berlin

II. Karl Weierstrass (1815-1897)

 

Deuxième partie. Les irrationnels définis comme limites de suites de rationnels

 

Chapitre 1.

I. Charles Méray (1835-1911)

II. De la géométrie à l’analyse : le goût pour la généralité et l’abstraction

III. Critique de la continuité des fonctions comme « raison suffisante »

IV. Une nouvelle raison suffisante : l’analyticité

V. Des vrais nombres aux nombres fictifs

VI. Le mémoire de 1869

VII. Le texte de Méray

 

Chapitre 2.

I. Cantor (1845-1918)

II. Heine (1821-1881)

 

Troisième partie. Les irrationnels définis comme coupures

 

Chapitre 1.

I. Richard Dedekind (1831-1916)

II. Les coupures

III. Le texte de Dedekind

 

Chapitre 2.

I. Jules Tannery (1848-1910)

II. La théorie des irrationnels de Tannery

III. Le texte de Tannery

 

Quatrième partie. L’arithmétisation de l’analyse selon Leopold Kronecker

I. Leopold Kronecker (1823-1891)

II. La philosophie mathématique de Kronecker

III. L’arithmétique de Kronecker

IV. Le texte de Kronecker

Conclusion

 

Bibliographie


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