Une carte interactive d’histoire des mathématiques

vendredi 24 février 2017
par  Vilas Boas, Henrique
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Henrique Vilas Boas, enseignant de mathématique dans un REP+ (réseau d’éducation prioritaire), chargé d’étude au centre Alain Savary-Ifé-ENS et ancien formateur académique de l’académie de Lyon, propose une carte interactive, à la fois chronologique et spatiale, qui vise à faire connaître un corpus documentaire sur l’histoire et la culture des mathématiques, afin de permettre aux enseignants, coordonnateurs, formateurs et pilotes en éducation prioritaire ou ailleurs, d’identifier en un coup d’œil un cadre mathématique, une région du Monde et une époque.




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L’approche historique et culturelle des mathématiques dans les programmes : de nouveaux angles pour l’apprentissage et l’enseignement de cette discipline

Que ce soit dans les programmes de la refondation de l’école (2015) ou dans le référentiel de l’éducation prioritaire (2013), la question de la confrontation explicite des élèves aux dimensions culturelles et historiques des mathématiques est nouvelle. Toutefois, depuis de nombreuses années, on trouve des travaux de recherche [1] et de nombreux ouvrages pédagogiques [2] et culturels qui irriguent ces formes d’enseignements, celles-ci étant plus ou moins mises en œuvre.

Certes, des enseignants, par des initiatives personnelles ou collectives (impulsions au sein d’une équipe, d’une circonscription, d’un réseau…) garnissent leur enseignement de récits convoquant des mondes extra-scolaires, en particuliers des récits nourris de culture mathématique [3] (anecdotes, références à des sites, usage de documents authentiques, ouvrages, en particuliers certains manuels scolaires, conférences…), mais cela ne découlait pas d’une demande explicite des programmes en mathématiques (même si dans l’ancienne version du socle, le pilier cinq, dit « culture humaniste » pouvait servir de garantie institutionnelle pour ce type d’entreprise).

Dorénavant, suite à la refondation de l’École, le socle commun a été enrichi du terme « culture », venant s’ajouter à ceux de « connaissances » et « compétences » déjà existants. Toutes les disciplines sont concernés, les mathématiques en particuliers, dès lors, on peut se poser la question de quelle culture, de quelle histoire parle-t-on ? Quelle histoire mathématique à enseigner ? Quelles formes pédagogiques ? (étude de textes authentiques, conférences-débat, conférence-atelier, mise en scène sous forme de saynètes, recherche multimédia…), y aurait-il des « incontournables » ou au contraire faut-il viser la diversité ? Et enfin quelle formation initiale et continue pour les enseignants du premier et du second degré, sur ces formes d’enseignements ?

On lit dans le référentiel éducation prioritaire : « Les élèves sont confrontés aux dimensions culturelles et historiques des savoirs enseignés pour les doter d’une culture qui leur donne des références indispensables pour situer les savoirs » et aussi par exemple, dans les programmes du cycle 3, en ce qui concerne les mathématiques, il est stipulé que « la mise en perspective historique de certaines connaissances (numération de position, apparition des nombres décimaux, du système métrique, etc.) contribue à enrichir la culture scientifique des élèves ».

En quoi la confrontation aux dimensions culturelles et historiques des mathématiques pose de nouveaux dilemmes aux enseignants ?

Un faisceau de nouvelles questions se présente à l’enseignant :

Peut-on calquer la construction des savoirs dans l’histoire à la construction des savoirs par les élèves ?

La prise en compte de la rencontre de l’épistémologie (construction des savoirs mathématiques dans l’histoire, versant phylogénétique) et de la didactique (construction des savoirs par les apprenants, versant ontogénétique) implique de penser le lien entre les deux dynamiques. Notons que l’une ne peut pas se calquer stricto-sensu sur l’autre, c’est le cas de l’exemple de l’enchaînement « nombres naturels, fractions puis nombre décimal » qui est historique, toutefois il est fort à parier que les obstacles rencontrés par l’Humanité soient des obstacles pour les élèves [4].

L. Desmet explique : « Cette approche [« nombres naturels, fractions puis nombre décimal »] est pertinente à condition d’inhiber certaines connaissances sur les entiers naturels pour comparer les fractions par exemple (1/4 est plus petit que 1/3 malgré la connaissance que l’on a des entiers 3 et 4 et de leur ordre). » [5] Certains chercheurs qui se sont exprimés, pensent que « la compréhension du système décimal est plus essentielle à la compréhension des nombres décimaux que la compréhension des fractions », et tempèrent en expliquant qu’« il est impensable d’aborder les nombres décimaux sans que le fractionnement de l’unité en part égales n’ait été abordé au préalable ».

Quels nouveaux gestes pédagogiques demande une approche historique et culturelle des mathématiques ?

L’approche épistémologique demande un rapport au savoir qui s’inscrit dans le temps et l’espace en prise avec une construction sociopolitique des savoirs, ceux-ci étant ainsi recontextualisés, et de ce fait, demande l’élaboration d’un corpus documentaire, qui n’est ni l’échafaudage de concepts, ni l’usage de techniques de résolution de problème, mais une médiation entre ces derniers et l’histoire de la construction des savoirs mathématiques et de leurs usages.

Cet aspect est, pour certains enseignants, complètement étranger ; il est loin d’être évident de travailler à partir de documents historiques dans la classe [6]. D’autre part, ce corpus n’est pas facilement identifiable, tant il est vaste, et n’est pas toujours adapté en l’état pour une mise en forme pédagogique et didactique, d’autant que les enseignants, formateurs, pilotes, premier ou second degré, n’ont pas forcément croisé, de manière institutionnelle, dans leur formation, la question de l’enseignement d’aspects culturels et historiques des mathématiques.

G. Brousseau [7] nous rappelle que « les obstacles didactiques d’origine épistémologique sont ceux auxquels on ne peut, ni ne doit échapper, du fait même de leur rôle constitutif dans la connaissance visée. On peut les retrouver dans l’histoire des concepts eux-mêmes. Cela ne veut pas dire qu’on doit amplifier leur effet ni qu’on doit reproduire en milieu scolaire les conditions historiques où on les a vaincus. »

Comment les langues, terreaux de cultures, pour parler « mathématiques » portent en elles des concepts ?

En ce qui concerne l’approche culturelle des mathématiques, celle-ci soulève des difficultés, qui peuvent être présentes au cœur de la langue française. C’est le cas des transcodages entre structure des mots-nombres et chiffres-nombres [8] (l’exemple de « quatre-vingt-dix » et « 90 », abordé au cycle 2, étant emblématique d’un transcodage difficile et opaque quant aux structures sous-jacentes), mais aussi socioculturelle, comme le transcodage des mots-nombres entre langues, même issues de la francophonie (par exemple, « quatre-vingt-dix » en France qui se dit « nonante » en Belgique).

Il peut sembler difficile pour certains enseignants de faire vivre d’autres langues dans leur classe [9], peut-être pour ne pas brouiller leur message didactique par crainte d’une maîtrise incertaine de ces langues. À l’inverse, faire vivre des transcodages qui ne vivent que dans la classe (par exemple compter avec les mots-nombres chinois ou turcs, très proches de la structure décimale) ne garantit pas leurs transpositions dans l’environnement extra-scolaire de l’élève, peut être perçu par ce dernier comme une singularité dans son parcours scolaire et être peu mobilisé dans ses apprentissages sur le long terme. Néanmoins, notons que l’approche par les questions historiques et culturelles en mathématiques peut s’avérer être un levier puissant pour travailler les composantes symboliques, culturelles et cognitives des apprentissages [10], par exemple la connaissance de l’origine arabe du mot « chiffre » (son origine signifiant « zéro ») ou l’origine latine du mot « calcul » (son origine signifiant « caillou ») sont des passerelles simples et efficaces qui renseignent facilement les élèves sur l’enracinement des savoirs dans les langues.

Dans la culture mathématique, comment faire vivre les dialectiques entre concepts-objets et concepts-outils ?

L’entrée dans l’histoire et la culture des mathématiques montre l’enracinement de celles-ci dans des questions extra-mathématiques, et illustre comment des concepts mathématiques peuvent sous-tendre d’autres champs disciplinaires comme la musique [11], l’architecture, les lettres, la géographie, etc., et qui, bien que répondant au prescrit lié à l’interdisciplinarité, ajoute de la complexité dans les choix que les enseignants doivent réaliser dans leur démarche pédagogique au risque de brouiller une certaine conscience disciplinaire [12], mais n’en est pas moins cruciale pour la formation des élèves et la construction d’une conscience des visées humanistes des mathématiques [13], en témoignent les mots du mathématicien Charles Gustave Jacobi écrivant à cet autre illustre mathématicien Adrien-Marie Legendre, en 1830 : « …que le but unique de la science, c’est l’honneur de l’esprit humain et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu’une question de système du monde ».

Une carte-ressource qui se veut utile, utilisable, acceptable et appropriable

Henrique Vilas Boas, enseignant de mathématique dans un REP+ (réseau d’éducation prioritaire), chargé d’étude au centre Alain Savary-Ifé-ENS et ancien formateur académique de l’académie de Lyon, propose une carte interactive, à la fois chronologique et spatiale, qui vise à faire connaître un corpus documentaire sur l’histoire et la culture des mathématiques, afin de permettre aux enseignants, coordonnateurs, formateurs et pilotes en éducation prioritaire ou ailleurs, d’identifier en un coup d’œil un cadre mathématique, une région du Monde et une époque.

Cette carte lui semble utile, en ce qu’elle constitue une ébauche de corpus documentaire (textes, audios et vidéos) construit à partir de références solides et stables (IREM, académies, laboratoires scientifiques...). Elle lui semble aussi utilisable car elle offre des repères, à la fois spatiaux et chronologiques, qui situent certaines mathématiques pratiquées ou pensées dans l’Histoire, mais aussi celles que l’on fabrique à l’école (comme les tablettes mésopotamiennes qui étaient probablement, pour certaines, des tablettes “d’étudiants”).

Enfin, elle lui semble acceptable car il a cherché des ressources gratuites, sans publicités et garanties auprès des différents instituts, chercheurs, formateurs et enseignants qui offrent tous, avec acuité, un regard historique et culturel sur les mathématiques. Enfin, il souhaite que cette ressource soit le mieux possible appropriable, en particulier dans les réseaux d’éducation prioritaire, dans un souci de synthèse, sans rechercher l’exhaustivité, par la possibilité de se saisir d’extraits d’un corpus documentaire exigeant, mais à destination de non-experts de l’histoire et de l’épistémologie des mathématiques, de travailler avec les élèves ou pour le seul nourrissage culturel des enseignants, des formateurs ou d’une équipe de réseau, afin d’alimenter solidement les récits en la matière.

Comment utiliser la carte ?

Pour utiliser la carte, on peut cocher ou décocher les périodes (elles ont été choisies arbitrairement pour faciliter la recherche), on peut choisir une icône dans la carte (voir ci-dessous la légende iconographique), ou écrire un mot clé à l’aide de l’icône « loupe » (par exemple : « nombre », « mesurer », « Chine », « IREM », « Al Kindi »).

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Chaque icône a été choisie pour un cadre visé, néanmoins des choix arbitraires ont parfois été faits et il se peut qu’il y ait plus d’informations que ce qui est indiqué.

Remerciements et point de vigilance

Les images ont été choisies libres de droit, néanmoins il se peut qu’il y ait des erreurs, merci de signaler tout problème de droit à l’image. Enfin de nombreux liens ont été proposés (IREM d’Aix-Marseille, de la Réunion, de Lyon, de Paris, de Basse-Normandie, de Rennes, de Poitiers, ICEM pédagogie Freinet, Educmaths-ENS, EducTice-ENS, Académie de Caen, Paris, Lyon, Grenoble, Lille, l’APMEP, Images des mathématiques du CNRS, vidéothèque du CNRS, l’UNESCO, CIJM, l’AMUCHMA, le site Matou Matheux, la revue en ligne québécoise acromaths, le site Dimension, le site mathématiques magiques, CanalU, le site Fermat science, la revue en ligne MathémaTICE, l’Académie des sciences, l’Académie des langues kanak, le site enseignement-latin, le site de métrologie française, le site Culture Maths de l’ENS, le site ethnographiques.org, l’observatoire astronomique de Lyon, France-TV et le site Statistix). Chaque lien est accompagné d’un petit texte de présentation des auteurs et du contenu, et aussi de repères sur l’usage dans le cycle approprié. Nous remercions chaleureusement tous les contributeurs qui ont bien voulu nous autoriser à diriger les liens sur leur site.


[1D. Lahanier Reuter, équipe Théodile (2007), « Récits dans la classe de mathématiques ».

[3Plateforme Néopass@action : thème 2, activité « Montrer ou faire découvrir ? » : « Aider les élèves à travailler et à apprendre » : « Théorème des maçons ou théorème de Pythagore ? », témoignages des « expérimentés » Michel et Dominique.

[9M.-A. Girodet (1996), « L’influence des cultures sur les pratiques quotidiennes de calcul » aux éditions Didier.


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