Al-Khayyam

Al-Khayyâm propose une classification croisée selon deux critères. D’une part, la classification est de nature géométrique, basée sur la constructibilité ou non de la, ou des solutions de l’équation.
Ainsi, il existe deux groupes :
1) Premièrement, les équations résolues à l’aide des propriétés du cercle et de la droite. L’existence des solutions est démontrée à partir des Eléments et des Données d’Euclide.
2) Deuxièmement, les équations résolues à l’aide des propriétés de certaines coniques, paraboles, hyperboles et cercles. Ses démonstrations s’appuient sur les Livres I et II des Eléments d’Euclide, ainsi que sur les Coniques d’Apollonius.

D’autre part, la classification peut être vue comme définie à partir du polynôme associé à chaque équation suivant le nombre de ses termes ainsi que son degré.

Remarque :
Al-Khayyâm connaissait le résultat de non-constructibilité à la règle et au compas de la solution du cas général de la cubique. Par conséquent, la seconde classification coïncide avec la première, exception faite des cubiques réductibles aux équations de degré inférieur ou égal à deux.

[La mention des pages et citations est en référence à Rashed, Roshdi, & Djebbar, Ahmed, L’œuvre Algébrique D’al-Khayy ?m, Alep : Imprimerie de l’Université d’Alep, 1981.]

Éditions bilingues arabe-français

• L’algèbre d’Omar Alkhayyámi, publiée, traduite et accompagnée d’extraits de manuscrits inédits, par F. Woepcke, B. Duprat, Paris,1851

• Al-Khayyam mathématicien, Roshdi Rashed et Bijan Vahabzadeh, Paris, Blanchard, 1999.
  Contient les trois textes mathématiques connus d’Al-Khayyam, avec des commentaires explicatifs.

• L’Œuvre algébrique d’Al-Khayyam. Établie, traduite et analysée par Roshdi Rashed et Ahmed Djebbar. Université d’Alep, 1981.
  Contient l’Algèbre et le Traité de la division du quart du cercle.

Recherche des œuvres imprimées d’Al-Khayyâm numérisées, sur le site LiNuM

• Sur la résolution des équations algébriques, Norreddine Mahammed, IREM de Lille, 1997, pp. 46-50 : Les travaux d’Omar Al-Khayyam ; pp. 57-58 : un extrait de son Traité de 1074 portant sur la définition de l’algèbre.

• L’algèbre arabe : genèse d’un art, Ahmed Djebbar, Paris, Vuibert, 2005 ; pp. 63-69 : Les équations cubiques.

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