LAGRANGE, Joseph-Louis 1736-1813
Théorie des fonctions analytiques, 1797
Ce traité est issu de l’enseignement de Lagrange à l’École Polytechnique de 1795 à 1799. Près d’un siècle après son invention, le calcul différentiel et intégral continuait à présenter des difficultés importantes quand il s’agissait d’en donner un exposé cohérent. En particulier, la définition des différentielles nécessitait un recours à l’infini difficile à contourner. Dans ce traité, Lagrange entend manipuler les fonctions par leur seul développement en séries entières selon des méthodes qu’il qualifie de purement algébriques. La formule de Taylor apparaît alors comme le fondement de l’Analyse, les fonctions dérivées, avec les notations en accents que nous connaissons aujourd’hui, sont utilisées pour la première fois dans un traité destiné à une large diffusion.
Une première partie donne « l’exposition de la Théorie avec ses usages dans l’Analyse ». On y trouve les développements en séries des fonctions élémentaires. Puis généralement, Lagrange envisage une fonction de la variable x qu’il note fx, il considère qu’elle se développe sous la forme
(1) $$$f(x+i) = fx + p\, i + q\, i^2 + r\, i^3 +\ldots$$$
La fonction dérivée est alors définie comme le coefficient du premier terme de ce développement, soit f’x=p. Puis, au moyen de manipulations sur les séries, Lagrange montre que la dérivée de la fonction p=f’x n’est autre que p’=2q , et ainsi de suite ; les dérivées successives de la fonction f se trouvent ainsi reliées aux coefficients du développement (1), pour constituer finalement les coefficients de la formule de Taylor. Une étude profondément originale permet d’exprimer, puis de majorer le reste de la série de Taylor.
Cette introduction des dérivées est utilisée pour exposer une théorie élémentaire des équations différentielles (nombre de constantes arbitraires, solutions singulières …). Pour les équations linéaires, Lagrange donne la méthode de variation des constantes arbitraires qui permet de passer des solutions de l’ « équation sans second membre »
$$$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)}+ a_2 y^{(n-2)}+\ldots +a_n y= 0$$$
aux solutions de l’ « équation complète »
$$$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)}+ a_2 y^{(n-2)}+\ldots +a_n y= X$$$
méthode dont il avait donné un exposé systématique dans un mémoire publié à Berlin en 1777.
Puis le concept de dérivée est étendu aux fonctions de plusieurs variables.
Une seconde partie est consacrée à « l’application de la Théorie à la Géométrie et à la Mécanique ». Elle fournit en particulier une théorie des ordres de contact et de l’osculation. Depuis l’avènement du calcul différentiel, chez la plupart des auteurs, une tangente à une courbe était définie comme une droite qui rencontre cette courbe en deux points infiniment voisins ; désireux de renouer avec la rigueur des « anciens géomètres », Lagrange considère qu’« une ligne droite est tangente à une courbe, lorsqu’ayant un point commun avec la courbe, on ne peut mener par ce point aucune droite entre elle et la courbe ».
Une seconde édition voit le jour en 1813. Elle contient quelques modifications. Lagrange introduit une subdivision en chapitres qui clarifie la structure d’ensemble du traité. Les applications à la géométrie et à la mécanique sont traitées dans deux parties distinctes. Entretemps, Lagrange a aussi publié les Leçons sur le calcul des fonctions qui apportent des compléments à la Théorie.
Les Leçons sur le calcul des fonctions, [Œuvres X, p. 3-451], d’après l’édition de 1806, sont aussi disponibles sur mathdoc
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