Tablette Plimpton 322

La tablette est orientée en format paysage, ce qui est rare pour les textes de son époque. La partie gauche, représentant environ un tiers de la tablette d’origine, est perdue. La face contient un tableau de quinze lignes et quatre colonnes avec des en-têtes, et le revers n’est pas inscrit, mais on y distingue clairement des lignes qui continuent les lignes de séparation des colonnes de la face. Les cellules de la table contiennent de grands nombres écrits en notation sexagésimale positionnelle. L’en-tête de la première colonne conservée indique que les nombres de cette colonne sont « le carré de la diagonale dont on soustrait 1, (ce qui) donne celui de la largeur ». La formule évoque clairement un rectangle, ses côtés et sa diagonale, et la relation métrique que nous appelons aujourd’hui la propriété de Pythagore.
Les nombres de la première colonne possèdent en effet la propriété remarquable suivante : ils sont des carrés parfaits, et si on leur enlève le premier chiffre, qui est un 1, on obtient encore des carrés parfaits. Par exemple, ligne 5, on lit le nombre 1.48.54.1.40. Ce nombre est un carré (celui de 1.20.50), et si le 1 initial (qui est le carré de 1) lui est retranché, on obtient encore un carré (celui de 54.10). Le nombre 1.48.54.1.40 fournit donc à lui tout seul ce que nous appelons aujourd’hui un triplet pythagoricien. (Pour contrôler ces relations, le lecteur est invité à utiliser la calculatrice babylonienne MesoCalc). Les quinze triplets pythagoriciens fournis par la première colonne sont indépendants. Dans chaque ligne, les nombres des colonnes suivantes fournissent un triplet pythagoricien semblable à celui de la première colonne.
L’interprétation de Plimpton 322 fut et demeure très controversée. La table était-elle destinée à fournir des données pour l’enseignement, ou bien à présenter l’ensemble complet des solutions d’un problème mathématique, en l’occurrence un problème arithmétique de type diophantien ? Les quinze « triplets pythagoriciens » préservés ont-ils été engendrés par un algorithme systématique, ou bien ont-ils été obtenus par hasard ? Que contenaient les deux colonnes initiales perdues ? La table était-elle prévue pour continuer sur le revers, et si c’est le cas, combien de lignes supplémentaires étaient prévues, et que devaient-elles contenir ? On trouve des réponses contradictoires à ces questions dans l’abondante littérature qui a été consacrée à cette célébrité des mathématiques anciennes.

Voir une photo complète de la tablette et la traduction de son contenu par Christine Proust, sur le site Images des Mathématiques, 2015.

Le contexte archéologique de la tablette est inconnu, mais des indices épigraphiques indiquent que la tablette date de l’époque dite paléo-babylonienne (début du deuxième millénaire avant l’ère commune). D’après le marchand qui l’a vendue vers 1922 au collectionneur George Arthur Plimpton, la tablette viendrait de Larsa, une cité du sud de la Mésopotamie. Ce dernier l’a léguée au milieu des années 1930 à l’Université de Columbia à New York où elle est toujours précieusement conservée.
On en trouvera des reproductions, transcriptions et traductions dans les ouvrages suivants.

• Otto Neugebauer and Abraham J. Sachs (1945). Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Studies. New Haven : p. 38 et suivantes en ligne.
• Christine Proust, C. (2015), Trouver toutes les diagonales. Plimpton 322, Images des Mathématiques.
• John P. Britton, , Christine Proust, Steve Shnider (2011), Plimpton 322 : a review and a different perspective. Archive for History of Exact Sciences 65 : pp. 519-566.
• Jöran Friberg (2007), A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts (Vol. I), New York : Springer. Appendix 8
• Eleanor Robson (2001), Neither Sherlock Holmes nor Babylon : A Reassessment of Plimpton 322. Historia Mathematica 28 : pp. 167-206.
• Derek J. de Solla Price (1964), The Babylonian "Pythagorean Triangle" Tablet, Centaurus, 10, n°1, pp. 1-13.

• Christine Proust (2015), Trouver toutes les diagonales. Plimpton 322 : à la recherche des rectangles sexagésimaux, une version mésopotamienne de la recherche des « triplets pythagoriciens », Images des Mathématiques.
• Christine Proust (2011), On the nature of the table Plimpton 322, in Mini-Workshop : History of Numerical and Graphical Tables, February 27th - March 5th, 2011 (Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach Report ), eds. R. Tobies and D. Tournès, Oberwolfach : Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, pp. 24-27. En ligne.
• Eleanor Robson (2002), Words and Pictures : New Light on Plimpton 322, The American Mathematical Monthly, 109, pp. 105-120.
• Faire des mathématiques à partir de leur histoire, tome VI, IREM de Rennes, 2004, résumé.
• Daniel Daviaud, A propos d’une tablette babylonienne, dans les Cahiers d’histoire des mathématiques et d’épistémologie, IREM de Poitiers, 1980. p. 85-147, résumé.
• Jöran Friberg (1981), Methods and traditions of Babylonian mathematics : Plimpton 322, Pythagorean triples and the Babylonian triangle parameter equations, Historia Mathematica, 8, pp. 277-318.
• R. J. Gillings (1958) Pythagorean Triads in Plimpton 322, The Mathematical Gazette, Vol. 42, No. 341 (Oct., 1958), pp. 212-213.
• Evert M. Bruins (1949), On Plimpton 322. Pythagorean numbers in Babylonian mathematics, Indagationes Mathematicae (Kon. Nederl. Akad. van Wet.), 11, pp. 191-194.

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• Jean Brette, Promenade mathématique en Mésopotamie, Images des Mathématiques, 2013.
• Plimpton 322, Wikipédia.
• A list of Pythagorean triples, The 10 Most Important Cuneiform Objects, CDLI : wiki.
• Plusieurs articles concernant les mathématiques en Mésopotamie sur CultureMath.
• La calculatrice babylonienne MesoCalc.