GAUSS, Carl Friedrich 1777-1855
Recherches générales sur les surfaces courbes, 1828
Cet ouvrage est une pierre angulaire dans l’histoire de la géométrie différentielle, la branche des mathématiques où les méthodes de l’analyse sont appliquées à la géométrie. L’approche intrinsèque de Gauss à la théorie des surfaces est très originale pour l’époque, et permet de regarder la surface en tant qu’objet indépendant et non comme la frontière d’un solide. Gauss introduit dans ce mémoire des concepts fondamentaux que Riemann et ses successeurs vont généraliser aux cas des variétés à n dimensions.
Gauss définit sur la surface courbe un système de coordonnées curvilignes, de manière similaire aux coordonnées cartésiennes dans le plan. Ensuite, Gauss définit un petit élément de longueur qu’il appelle la « première forme fondamentale », on dit maintenant élément linéaire. Son élève, Riemann, va généraliser ce concept au cas d’une variété à n dimensions en introduisant ce qui, en termes modernes, est le tenseur métrique. Finalement, Gauss donne dans ce mémoire la définition de courbure d’une surface courbe, qui sera généralisée par Riemann et ses successeurs et deviendra le tenseur de courbure bien connu des mathématiciens d’aujourd’hui, et aussi utilisé en théorie de la relativité.
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