Poncelet

I. Principes généraux, mettant en place la notion de propriété projective et celle de sécante idéale commune à un système de coniques.
II. Propriétés fondamentales des lignes droites, des sections coniques et des cercles, rassemblant l’ensemble des connaissances acquises sur les figures planes, polygones inscrits ou circonscrits à des coniques, pôles et polaires, centres de similitude de deux cercles [le mot homothétie n’est pas encore utilisé].
III. Des systèmes de sections coniques, avec la mise en place de la notion d’homologie et la recherche du système complet des sécantes et tangentes communes qui caractérisent chaque homologie ; puis l’étude du cas particulier des sections coniques ayant un double contact.
IV. Des angles et des polygones, qui montre comment appliquer les méthodes précédentes à un certain nombre de problèmes connus comme le problème de Castillon généralisé, ou originaux, dont le célèbre théorème de clôture de Poncelet.
Un Supplément sur les propriétés projectives des figures dans l’espace, vient généraliser à l’espace quelques-unes des méthodes développées ci-dessus.

Comme l’indique le sous titre, le Traité des propriétés projectives des figures publié par Poncelet en 1822 est destiné d’abord ‘’à ceux qui s’occupent des applications de la géométrie descriptive et d’opérations géométriques sur le terrain ‘’. Il est en fait l’aboutissement d’une longue réflexion faite dans la solitude d’une prison russe à Saratoff dans laquelle Poncelet fut maintenu prisonnier durant dix-huit mois lors de la campagne de Russie de Napoléon.
Se destinant à l’arme du Génie en sortant de l’École Polytechnique en juillet 1810, Poncelet perfectionnera encore ses connaissances à l’École d’Application de Metz d’où il sortit le 11 février 1812 avec le grade de lieutenant du Génie, affecté aussitôt aux travaux de fortification sur l’île hollandaise de Walcheren dans l’estuaire de l’Escaut. Cette île était en effet un point stratégique dans la lutte que menait Napoléon contre l’Angleterre. Quatre mois après, en juin 1812, il reçoit l’ordre de rejoindre la Grande Armée en Russie, attaché à l’Etat-major Général du Génie pour la reconstruction des ponts systématiquement détruits par l’Armée Russe au fur et à mesure de l’avancée des troupes françaises. Le 18 novembre il est fait prisonnier lors de la bataille de Krasnoïé et emmené en captivité à Saratoff, après un voyage exténuant de 300 lieues à pied, dans les conditions extrêmement difficiles de l’hiver russe. Il décrira lui-même ainsi sa situation :

« Là, (…) il ne trouvera ni secours matériels, ni ressources morales ou scientifiques, et lorsque, sous la bienfaisante influence du splendide soleil d’avril, il recouvra quelques forces et voulut se distraire par le travail de l’esprit, il dut refaire péniblement, et pour ainsi dire un à un, les éléments indispensables aux études mathématiques, privé qu’il était de tout livre, de tout instrument de précision, difficiles à se procurer dans cette ville de Saratoff, d’ailleurs dépourvue alors de bibliothèques scientifiques ».
C’est dire combien le Traité de Poncelet a été conçu dans un contexte très isolé, coupé de tout échange avec ses collègues, ce qui amènera son auteur à des polémiques très vives de priorité, alors que lui-même aura constamment le souci de signaler les références des ouvrages cités.
De retour en France en septembre 1814, il fera connaître peu à peu le résultat de ses travaux, par l’intermédiaire du journal créé en 1810 par Gergonne sous le titre des Annales de mathématiques pures et appliquées, abrégé en Annales de Gergonne.
L’analyse des articles de géométrie contenus dans les Annales de Gergonne montre que les efforts des géomètres portent alors principalement sur les propriétés des coniques et des surfaces du second degré. Mais au lieu d’accumuler comme eux ces propriétés de façon éparse et parcellaire, Poncelet aura le souci de dégager des méthodes générales et fécondes dans un grand traité novateur. Comme tous les grands textes fondateurs, ce traité donnera l’impulsion à une nouvelle conception de la géométrie, la géométrie projective.
Le Traité des propriétés projectives des figures, marque une prise de conscience de ce qui est sous-jacent aux idées et aux méthodes dispersées dans les articles des Annales. Ces idées et méthodes, en effet trop nombreuses pour permettre une appréhension globale de la situation, étaient basées sur la notion de propriété projective, autorisant le remplacement d’une figure par une autre, considérée comme équivalente, parce que conservant un certain ensemble de propriétés. Fort de cette première notion, il s’agit pour Poncelet de mettre en place les méthodes pour l’exploiter et la mettre en œuvre. Les projections concernées étant les projections coniques, une propriété projective portera uniquement sur les figures constituées d’un ensemble de droites et de coniques. Il s’agit donc successivement :

• de rassembler la diversité des coniques (hyperbole, ellipse, parabole, paire de droites) en un objet unique appelé courbe du second ordre et de pouvoir identifier et construire une telle conique à partir de données élémentaires, points et droites tangentes.
• de mettre en relation deux coniques d’un même plan de façon à transporter les propriétés de l’une sur l’autre. Une telle relation était bien connue dans le cas de deux cercles quelconques et se manifeste par le caractère évident de similitude. Ce caractère n’existe plus dans le cas d’un système de deux coniques quelconques d’un plan. Mais l’utilisation des projections centrales permet à Poncelet de généraliser le concept de similitude en celui d’homologie établissant une relation projective entre deux coniques quelconques d’un même plan.
• une telle relation peut-elle s’établir pour un système plus général de trois coniques ou plus ? Là aussi, l’exemple des cercles montre la voie : les cercles d’un faisceau ont en commun une même sécante, à condition, dans le cas d’un faisceau à points limites, de mettre en place l’idée d’une sécante idéale commune à tous les cercles (et par projection à toutes les coniques), jouant le même rôle que la sécante commune à tous les cercles d’un faisceau à points limites.

Au niveau des méthodes, Poncelet va établir également une rupture avec la géométrie euclidienne qui se cristallisera principalement autour de trois éléments caractéristiques de la géométrie projective :

1. le fait d’identifier des propriétés spécifiquement projectives, de les nommer et de les étudier comme telles, ce qui suppose implicitement un recours à une théorie des transformations, même si ce mot n’est pas encore utilisé dans le sens actuel.
2. la considération explicite de points à l’infini sur les droites et d’une droite à l’infini rassemblant tous ces points pour l’ensemble des droites d’un plan. La prise en compte de ces éléments ne sera pas une simple convention de langage mais bien la création d’objets explicites participant de plein droit au développement de la théorie géométrique.
3. ces deux premiers éléments en supposent un troisième qui est leur articulation réciproque, c’est-à-dire une réorganisation logique du raisonnement utilisant éventuellement de nouveaux principes (principe de continuité, dualité, transformation par polaires réciproques), une redéfinition des objets et une innovation des méthodes intégrant de façon nécessaire les éléments à l’infini au corpus ancien.

Tout ceci sera exposé selon les principes de la géométrie synthétique, c’est-à-dire en excluant absolument tout recours à la géométrie analytique.

• Traité des propriétés projectives des figures, Metz-Paris 1822. Disponible sur e-rara (ETH-Bibliothek Zürich).
• 2e éd., Traité des propriétés projectives des figures (tome premier), Paris, Gauthier-Villars, 1865. Reprint Gabay, 1995. Poncelet affirme que cette édition est « entièrement conforme à l’édition de 1822, sauf quelques annotations placées à la fin de ce volume ».
• Applications d’analyse et de géométrie qui ont servi en 1822 de principal fondement au Traité des propriétés projectives des figures, Paris, Gauthier-Villars, 1862. Poncelet étant en conflit avec Gergonne sur des questions de priorité, il a jugé nécessaire de publier les textes de divers manuscrits et articles. Disponible sur Gallica
• Applications d’analyse et de géométrie qui ont servi de principal fondement au Traité des propriétés projectives des figures, tome deuxième, Paris, Gauthier-Villars, 1864. Disponible sur Gallica
• Traité des propriétés projectives des figures, tome second, Paris, Gauthier-Villars, 1866. Ce second tome comprend divers mémoires présentés à l’Académie des Sciences entre 1824 et 1831, ainsi que d’autres mémoires et notes diverses, jusque-là non publiés. Disponible sur Gallica

• Recherche des œuvres de Poncelet, numérisées sur LiNuM

• B. Belhoste, De l’École Polytechnique à Saratoff, les premiers travaux géométriques de Poncelet, Bulletin n° 19 de la SABIX (Société des Amis de la Bibliothèque de l’École Polytechnique), juin 1998.
• J.-P. Friedelmeyer, Le théorème de clôture de Poncelet, une démonstration « imparfaite » qui fait toute une histoire…, in Histoire et enseignement des mathématiques, Rigueurs, erreurs, raisonnement, Institut National de la recherche Pédagogique, 2007.
• J.-P. Friedelmeyer, L’impulsion originelle de Poncelet dans l’invention de la géométrie projective in Éléments d’une biographie de l’espace projectif, Bioesmat-Martagon Lise, Presses universitaires de Nancy, 2010, p.55-158.
• R. Taton, La géométrie projective en France de Desargues à Poncelet, conférence faite au Palais de la Découverte le 17 février 1951, publication de l’Université de Paris
• Henri Tribout, Un grand savant Le Général Jean Victor Poncelet (1788-1867), Paris, 1936.

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