Riemann

Riemann considère des « grandeurs étendues » de dimensions multiples, c’est-à-dire des espaces où les points sont déterminés par n coordonnées ($$$n ≥ 2$$$). En termes modernes, il introduit les variétés riemanniennes. Tout d’abord, Riemann construit la métrique en définissant l’« élément linéaire » d’une variété à n dimensions aujourd’hui appelé le tenseur métrique : ce qui définit la distance entre deux points de l’espace infiniment proches, généralisant ainsi l’objet ds défini par la relation $$$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$$$ dans l’espace euclidien à trois dimensions muni d’un repère orthogonal.

Ensuite, en suivant l’approche de la géométrie inaugurée par Gauss dans ses Disquisitiones circa superficies curvas, Riemann élabore une théorie de l’espace à plusieurs dimensions, où l’élément linéaire joue le rôle central ; cette théorie est intrinsèque, c’est-à-dire qu’elle ne suppose pas que cet espace soit plongé dans un espace euclidien. Dans ce contexte, les caractéristiques essentielles d’une variété sont déduites à partir de l’élément linéaire.

En conclusion de sa conférence, Riemann insiste sur les relations profondes entre physique et géométrie. Selon lui, les fondements de la géométrie sont à rechercher dans les forces d’interactions qui agissent entre les particules de la matière. C’est pour établir la nature de ces forces qu’il est nécessaire d’étudier les phénomènes physiques qui ont lieu dans l’espace. Ces idées prophétiques évoquent pour nous le lien entre gravitation et courbure de l’espace-temps, mis en lumière dans la théorie de la relativité générale d’Einstein.

Voici l’essentiel de la table des matières :
A. Concept d’une grandeur de n dimensions
I. Variétés continues et discrètes
II. Généralisation du concept d’une variété d’une, de deux… de n dimensions
III. Réduction de la détermination de lieu, dans une variété donnée, à des déterminations de quantités
B. Rapports métriques dont une variété de n dimensions est susceptible, dans l’hypothèse où les lignes possèdent une longueur indépendamment de leur position, et où toute ligne est ainsi mesurable par toute autre ligne.
I. Expression de l’élément linéaire
II. Étude des variétés de n dimensions, dans lesquelles l’élément linéaire est exprimable par la racine carrée d’une somme de carrés de différentielles complètes (…), mesure de courbure
III. Explication géométrique
IV. Les variétés planes
V. Surfaces de mesure de courbure constante
C. Application à l’espace
I. Systèmes de faits suffisants pour la détermination des rapports métriques de l’espace, tels que la Géométrie les suppose
II. Jusqu’à quel degré est probable la légitimité des déterminations empiriques, lorsqu’on sort des limites de l’observation pour entrer dans l’immensurablement grand ?
III. Jusqu’à quel degré est-elle probable pour l’infiniment petit ? Lien de cette question avec l’explication des phénomènes naturels

• Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867, pp. 133-150
• La première traduction française de cet ouvrage est parue dans les Annali di matematica pura ed applicata (2), vol. 3, 1870, pp. 309-327. Le traducteur est Jules Houël.
• L’article de Riemann a été publié dans la même traduction française dans les Œuvres mathématiques de Riemann, Paris, Gauthier-Villars, 1898, p. 280 - 299. Nouvelle édition : Paris, J. Gabay, 1990 ; numérisé sur Gallica

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• Jürgen Jost, Bernhard Riemann. On the Hypotheses Which lie at the Bases of Geometry, Birkhäuser, 2016. Cet ouvrage présente la traduction en anglais du texte de Riemann, publiée par W. Clifford dès 1873 dans Nature, en l’accompagnant d’un commentaire historique, mathématique et philosophique. Les concepts et les idées sont présentés, avec le cadre mathématique qui les sous-tend. Le texte de Riemann est replacé dans son contexte, puis sa réception est décrite, et sa postérité en mathématique dans les travaux de Helmholtz, H. Weyl, Einstein et d’autres.

• R. Tazzioli, Riemann. Le géomètre de la nature, Paris, Belin, 2010

• Mohammed Allal Sinaceur, Dedekind et le programme de Riemann. Suivi de la traduction de Analytische Untersuchungen zu Bernhard Riemann’s Abhandlungen uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde Liegen par R. Dedekind. In Revue d’histoire des sciences, tome 43, n°2-3, 1990, p. 221-296.

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• C.-M. Marle, L’évolution de la notion d’Espace en Physique et en Mathématiques de 1850 à 1930

• J. Colombano, Visualiser la courbure. Du rayon de courbure au tenseur de Riemann. In Images des mathématiques