Chapitre 11. Un algorithme d’approximation chez Newton et Euler

CHEVALARIAS Nathalie, lundi 17 juin 2024

Rédaction : Renaud Chorlay
Expérimentation : Sylvie Alory, Stéphanie Doret, Vincent Josse, Marie Joubert, Fabienne Rousseau (IREM de Paris)

Liste des notions et des compétences travaillées

Items d’histoire des mathématiques abordés (programmes de 2019)
2nde générale
Nombres et calculs
[…] Il s’agit également de souligner le gain en efficacité et en généralité qu’apporte le calcul littéral, en expliquant qu’une grande partie des mathématiques n’a pu se développer qu’une fois ce formalisme stabilisé au cours des siècles. Il est possible d’étudier des textes anciens d’auteurs tels que Diophante, Euclide, Al-Khwarizmi, Fibonacci, Viète, Fermat, Descartes et mettre en évidence leurs aspects algorithmiques.

Algorithmique et programmation
Lorsqu’un texte historique a une visée algorithmique, transformer les méthodes qu’il présente en un algorithme, voire en un programme, ou inversement, est l’occasion de travailler des changements de registre qui donnent du sens au formalisme mathématique.

1ère générale
Enseignement de spécialité
Algèbre
Bien avant de faire l’objet d’une étude formalisée, les suites apparaissent dans deux types de situations :

• approximation de nombres réels (encadrement de `π` par Archimède, calcul de la racine carrée chez Héron d’Alexandrie) ;
• problèmes de comptage (les lapins de Fibonacci...).

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Notions traitées (programmes de 2019)
2nde générale
Nombres et calculs
Manipuler les nombres réels
Contenus
- Ensemble ℝ des nombres réels, droite numérique.
- Ensemble ⅅ des nombres décimaux. Encadrement décimal d’un nombre réel à ` 10^(-n) ` près.
- Ensemble ℚ des nombres rationnels. Nombres irrationnels.

Capacités attendues
Donner un encadrement, d’amplitude donnée, d’un nombre réel par deux décimaux.
Exemple d’algorithme
Déterminer par balayage un encadrement de ` sqrt(2) ` d’amplitude inférieure ou égale à ` 10^(-n) ` .

Utiliser le calcul littéral
Contenus
- Identités `(a+b)^2=a^2+2ab+b^2` et `(a-b)^2=a^2-2ab+b^2`.
Capacités attendues
- Choisir la forme la plus adaptée (factorisée, développée réduite) d’une expression en vue de la résolution d’un problème.
- Comparer deux quantités en utilisant leur différence, ou leur quotient dans le cas positif.

Fonctions
Se constituer un répertoire de fonctions de référence
Contenus
- Fonctions carré, racine carrée […] : définitions et courbes représentatives.
Démonstration
- Étudier la position relative des courbes d’équation `y=x, y=x^2, y=x^3`, pour `x≥0`.

Algorithmique et programmation
Utiliser les variables et les instructions élémentaires
Contenus
- Variables informatiques.
- Séquence d’instructions.
- Boucle bornée, boucle non bornée.
Capacités attendues
- Concevoir et écrire une instruction d’affectation, une séquence d’instructions.
- Programmer, dans des cas simples, une boucle bornée, une boucle non bornée.

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Compétences travaillées

• Représenter  : Allers-retours entre calculs numériques et littéraux ; usage de courbes représentatives des fonctions carré et racine carrée, éventuellement de leurs tangentes ; travail sur la droite numérique (suite de points, encadrements, précision).
• Calculer  : Calcul numérique et algébrique mené à la main ou avec divers outils TICE (calcul formel, tableur, langage de programmation).
• Communiquer  : Reformuler et expliquer une démarche, formuler des hypothèses de lecture et des conjectures, évaluer une démarche.

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