Chapitre 2. Comment une démonstration au programme de seconde « cache un passé ». Le jeu des démonstrations bigarrées.

Rédaction, expérimentation : Alain Bernard, Stéphane Herrero, Aymeric Francisco do Carmo, Emmanuelle Rocher (IREM de Paris Nord)

Liste des compléments numériques

1. Présentation commentée des propositions 1, 2 et 3 du livre II des Éléments d’Euclide. (.pdf)
2. Le jeu des “démonstrations bigarrées” : fiches élèves et corrigés possibles. (.docx ou .pdf)
3. Le « jeu des démonstration bigarrées » au lycée Cugnot (2021-22) (.docx ou .pdf)
4. Le « jeu des démonstration bigarrées » au lycée Bagnolet (2021-22) (.pdf)
5. Un diaporama de synthèse possible pour l’activité expérimentée en 2021. (.pptx)
6. Un second diaporama, variante du premier et concluant un des progressions étudiées en 2022. (.pptx)
7. Le mémoire MEEF de Katia Schmitz, Youcef Bengouzi, Mohamed Nait Daoud (2021-22) (.pdf)

Liste des notions et des compétences travaillées

Items d’histoire des mathématiques abordés (programmes de 2019)
2nde générale
Nombres et calculs
La notion apparemment familière de nombre ne va pas de soi. […] Il s’agit également de souligner le gain en efficacité et en généralité qu’apporte le calcul littéral, en expliquant qu’une grande partie des mathématiques n’a pu se développer qu’une fois ce formalisme stabilisé au cours des siècles. Il est possible d’étudier des textes anciens d’auteurs tels que Diophante, Euclide, Al-Khwarizmi, Fibonacci, Viète, Fermat, Descartes et mettre en évidence leurs aspects algorithmiques.

Notions traitées (programmes de 2019)
2nde générale
Nombres et calculs

Utiliser le calcul littéral
Contenus
– Exemples simples de calcul sur des expressions algébriques.

Capacités attendues
– Choisir la forme la plus adaptée (factorisée, développée réduite) d’une expression en vue de la résolution d’un problème.
– Comparer deux quantités en utilisant leur différence, ou leur quotient dans le cas positif.

Fonctions

Se constituer un répertoire de fonctions de référence
Contenus
– Fonctions carré, inverse, racine carrée, cube : définitions et courbes représentatives.

Démonstration
– Étudier la position relative des courbes d’équation `y=x, y=x^2, y=x^3` pour `x >=0` .

Géométrie
Résoudre des problèmes de géométrie
Objectifs
Il convient de mettre en valeur l’intervention de la géométrie dans les autres parties du programme, notamment « Nombres et calculs » et « Fonctions ».

Compétences travaillées

• Chercher  : Pratique du problème ouvert, analyse des moyens permettant de construire une démonstration.
• Représenter  : Utiliser différents cadres, notamment géométrique et algébrique, pour construire une démonstration, et utiliser différents registres géométriques (lignes ou aires).
• Raisonner  : Construire et mettre en perspective différentes démonstrations.
• Calculer  : Exercer l’intelligence du calcul algébrique, verbaliser le sens des opérations.
• Communiquer  : Développer une argumentation mathématique à l’écrit, s’engager dans une démarche de travail en groupe pour résoudre un problème complexe.