Chapitre 9. Aux sources historiques de l’exponentielle : une introduction en classe de première

CHEVALARIAS Nathalie, dimanche 16 juin 2024

Rédaction : François Goichot (groupe EMTA, IREM de Lille, et Université Polytechnique Hauts-de-France)
Expérimentation : Caroline Doré, avec François Goichot pour la première édition de chaque séance)

Liste des compléments numériques

Fichier GeoGebra utilisé pour la sous-tangente. (.ggb)
Fichier GeoGebra utilisé pour la construction de Leibniz. (.ggb)
Fichier GeoGebra utilisé pour montrer la convergence de `(1+ (x)/(n))^n ` vers `e^x` . (.ggb)
Trois travaux d’élèves (brouillons) sur le calcul d’intérêts composés. (.pdf n°1, .pdf n°2, .pdf n°3 )
Compléments de bibliographie - sitographie avec liens actifs (dont celui vers le manuscrit de Bernoulli) (.pdf)

Liste des notions et des compétences travaillées

Items d’histoire des mathématiques abordés (programmes de 2019)
1ère générale
Enseignement de spécialité
Analyse
La notation exponentielle et les fonctions exponentielles apparaissent vers la fin du XVII^e siècle, procédant d’une volonté de traiter des phénomènes de croissance comparables à ceux des intérêts composés. La modélisation de ces situations fait naturellement apparaître la caractérisation de la fonction exponentielle comme seule fonction vérifiant l’équation différentielle ` y’=y ` et la condition initiale ` y(0)=1 `.

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Notions traitées (programmes de 2019)
1ère générale
Enseignement de spécialité
Analyse
Dérivation
Contenus
- Tangente à la courbe représentative d’une fonction, comme « limite des sécantes ». Pente.

Fonction exponentielle
Contenus
- Définition de la fonction exponentielle, comme unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant ` f’=f ` et ` f(0)=1 `. L’existence et l’unicité sont admises. Notation ` exp(x) `.
- Pour tous réels ` x ` et ` y `, ` exp⁡(x+y)=exp⁡(x) exp⁡(y) `.
- Pour tout réel ` a `, la suite `(e^(na) )` est une suite géométrique.
Exemple d’algorithme
- Construction de l’exponentielle par la méthode d’Euler. Détermination d’une valeur approchée de `e` à l’aide de la suite `((1+ (1)/(n))^n)` .

Algèbre
Suites numériques, modèles discrets
Contenus
- Suites arithmétiques […].
- Suites géométriques […]. Lien avec la fonction exponentielle.
Capacités attendues
- Modéliser un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique.

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Compétences travaillées

• Chercher  : Extraire, organiser et traiter l’information utile. Observer, s’engager dans une démarche, expérimenter. Valider, corriger une démarche, en adopter une nouvelle.
• Communiquer  : Opérer la conversion entre le langage naturel et le langage symbolique formel. Critiquer une démarche ou un résultat.

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