Chapitre 7. Un support géométrique pour aborder le nombre dérivé : la tangente à un cercle d’Euclide à Descartes

Rédaction : Marie-Line Moureau
Expérimentation : Évelyne Barbin, Anne Boyé, Annabelle Burot, Carène Guillet, Marie-Line Moureau, Catherine Nizan-Picard, Isabelle Voillequin (Groupe Histoire et Enseignement des Mathématiques de l’IREM des Pays de la Loire)

Liste des compléments numériques

1. Les différentes fiches élèves utilisées dans cette progression dans les deux expérimentations, à savoir :
   – l’activité sur les tangentes à un cercle chez Euclide (.docx ou .pdf)
   – deux fiches d’exercices sur les tangentes à un cercle (.doxc1 ou .pdf1 ; .docx2 ou .pdf2)
   – l’activité sur les rayons lumineux chez Descartes (.docx ou .pdf)
   – la fiche de synthèse relative aux paraboles (.pdf)
   – l’activité sur les tangentes à la parabole chez Descartes (.docx ou .pdf)
2. Les calculs de la séance 4 pour déterminer les fonctions dérivées des fonctions usuelles. (.pdf)
3. La trace écrite à l’issue de la séance 4 faisant le lien avec le programme. (.pdf)

Liste des notions et des compétences travaillées

Items d’histoire des mathématiques abordés (programmes de 2019)
1ère générale
Enseignement de spécialité
Analyse
Le calcul différentiel s’est imposé par sa capacité à donner des solutions simples à des problèmes nombreux d’origines variées (cinématique, mécanique, géométrie, optimisation).

Géométrie
Les cercles font partie des plus vieux objets mathématiques. […] Mais ce n’est qu’au XVII^e siècle que Descartes élabore la méthode des coordonnées et écrit l’équation d’un cercle en repère orthonormé.

Notions traitées (programmes de 2019)
1ère générale
Enseignement de spécialité
Analyse
Dérivation
Contenus
- Taux de variation. Sécantes à la courbe représentative d’une fonction en un point donné.
- Nombre dérivé d’une fonction en un point, comme limite du taux de variation. Notation `f’(a) `.
- Tangente à la courbe représentative d’une fonction, comme « limite des sécantes ». Pente. Équation : la tangente à la courbe représentative de ƒ au point d’abscisse a est la droite d’équation `y=f(a)+f^’ (a)(x-a)`.
- Fonction dérivée des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée.

Géométrie
Calcul vectoriel et produit scalaire
Contenus
- Caractérisation de l’orthogonalité.

Géométrie repérée
Contenus
- Équation de cercle.
- Parabole représentative d’une fonction polynôme du second degré. Axe de symétrie, sommet.
Approfondissement possible
- Recherche de l’ensemble des points équidistants de l’axe des abscisses et d’un point donné.

Vocabulaire ensembliste et logique
Les élèves produisent des raisonnements par disjonction des cas, par l’absurde, par contraposée, et en découvrent la structure.

Compétences travaillées

• Chercher  : Expérimenter à l’aide d’un outil de géométrie dynamique, conjecturer à partir de données recueillies expérimentalement.
• Représenter  : Passer du cadre géométrique au cadre analytique, mise en équation dans un repère judicieux.
• Raisonner  : Raisonnement par l’absurde, analyse et lecture de figures géométriques, lire et comprendre un texte mathématique.
• Calculer  : Calculs algébriques, équations de cercle, équations de droites, coefficient directeur, résolutions d’un système de deux équations à deux inconnues.
• Communiquer  : Débattre autour de l’interprétation de textes mathématiques.