Chapitre 3. L’irrationnalité de √2 en classe de seconde : du doute à la démonstration

CHEVALARIAS Nathalie, samedi 15 juin 2024

Rédaction : Évelyne Barbin, Annabelle Burot et Catherine Nizan-Picard
Expérimentation : Évelyne Barbin, Anne Boyé, Annabelle Burot, Carène Guillet, Marie-Line Moureau, Catherine Nizan-Picard, Isabelle Voillequin (Groupe Histoire et Enseignement des Mathématiques de l’IREM des Pays de la Loire)

Liste des compléments numériques

1. Activité sur les suites à partir du texte de Théon de Smyrne en classe de première. (.docx ou .pdf)
2. La question de l’irrationalité dans le dialogue du Théétète de Platon. (.pdf)
3. La question de l’irrationalité dans l’Organon d’Aristote. (.pdf)

Liste des notions et des compétences travaillées

Items d’histoire des mathématiques abordés (programmes de 2019)
2nde générale
Nombres et calculs
La notion apparemment familière de nombre ne va pas de soi. Deux exemples : la crise provoquée par la découverte des irrationnels chez les mathématiciens grecs, la différence entre « nombres réel » et « nombres de la calculatrice ». […] Il est possible d’étudier des textes anciens d’auteurs tels que Diophante, Euclide, Al-Khwarizmi, Fibonacci, Viète, Fermat, Descartes et mettre en évidence leurs aspects algorithmiques.

Géométrie
On pourra évoquer les mathématiques grecques, en mettant en évidence le rôle central de la géométrie dans la naissance de l’idée de démonstration.

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Notions traitées (programmes de 2019)
2nde générale
Nombres et calculs
Manipuler les nombres réels
Contenus
– Nombres irrationnels ; exemples fournis par la géométrie, par exemple `sqrt(2)`.
Démonstrations
– Le nombre réel `sqrt(2)` est irrationnel.

Utiliser les notions de multiple, diviseur et de nombre premier
Contenus
– Définitions des notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair.
Démonstrations
– Le carré d’un nombre impair est impair.

Vocabulaire ensembliste et logique
Les élèves produisent des raisonnements par disjonction des cas et par l’absurde.

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Compétences travaillées

• Chercher  : Lire et comprendre un texte historique. Problème ouvert sur le doublement du carré.
• Représenter  : Choisir un cadre (numérique, algébrique, géométrique…), changer de registre. L’irrationalité est vue de deux points de vue : géométrique et numérique.
• Raisonner  : Irrationalité de `sqrt(2)` par le pair et l’impair.
• Calculer  : Écriture et mise en œuvre d’un algorithme d’approximation de `sqrt(2)` en partant d’un texte historique.
• Communiquer  : Communiquer un résultat par oral ou par écrit, expliquer une démarche.

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