Chapitre 8. Une entrée géométrique vers la dérivation : la sous-tangente de la Grèce antique au marquis de l’Hospital

CHEVALARIAS Nathalie, dimanche 16 juin 2024

Rédaction : Carène Guillet
Expérimentation : Évelyne Barbin, Anne Boyé, Annabelle Burot, Carène Guillet, Marie-Line Moureau, Catherine Nizan-Picard, Isabelle Voillequin (Groupe Histoire et Enseignement des Mathématiques de l’IREM des Pays de la Loire)

Liste des compléments numériques

1. Trame du travail préalable sur les tangentes en classe de première. (.docx ou .pdf)
2. Correction de l’activité élève et proposition de trace écrite. (.pdf)
3. Introduction à l’exponentielle par la sous-tangente en classe de première. (.docx ou .pdf)

Liste des notions et des compétences travaillées

Items d’histoire des mathématiques abordés (programmes de 2019)
1ère générale
Enseignement de spécialité
Analyse
Le calcul différentiel s’est imposé par sa capacité à donner des solutions simples à des problèmes nombreux d’origines variées (cinématique, mécanique, géométrie, optimisation). Le développement d’un calcul des variations chez Leibniz et Newton se fonde sur l’hypothèse que les phénomènes naturels évoluent linéairement quand on leur applique des petites variations. Leurs approches partent de notions intuitives mais floues d’infiniment petit. Ce n’est que très progressivement que les notions de limites et de différentielles, qui en fondent l’exposé actuel, ont été clarifiées au XIX^e siècle.
La notation exponentielle et les fonctions exponentielles apparaissent vers la fin du XVII^e siècle, procédant d’une volonté de traiter des phénomènes de croissance comparables à ceux des intérêts composés. La modélisation de ces situations fait naturellement apparaître la caractérisation de la fonction exponentielle comme seule fonction vérifiant l’équation différentielle ` y’=y ` et la condition initiale ` y(0)=1 `.

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Notions traitées (programmes de 2019)
1ère générale
Enseignement de spécialité
Analyse
Dérivation
Contenus
- Taux de variation. Sécantes à la courbe représentative d’une fonction en un point donné.
- Nombre dérivé d’une fonction en un point, comme limite du taux de variation. Notation ` f’(a) `.
- Tangente à la courbe représentative d’une fonction, comme « limite des sécantes ». Pente. Équation : la tangente à la courbe représentative de ` f ` au point d’abscisse ` a ` est la droite d’équation ` y=f(a)+f’(a)(x-a) `.
Capacités attendues
- Calculer un taux de variation, la pente d’une sécante.
- Interpréter le nombre dérivé en contexte : pente d’une tangente, vitesse instantanée, coût marginal…
- Déterminer graphiquement un nombre dérivé par la pente de la tangente. Construire la tangente en un point à une courbe représentative connaissant le nombre dérivé.
- Déterminer l’équation de la tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction.

Fonction exponentielle
Contenus
Définition de la fonction exponentielle, comme unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant ` f’=f ` et ` f(0)=1 `. L’existence et l’unicité sont admises. Notation ` exp(x) `.

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Compétences travaillées

• Chercher  : Expérimenter à l’aide de constructions et de calculs, lire et comprendre un texte mathématique.
• Représenter  : Passer du cadre géométrique au cadre analytique, transposer les notations anciennes vers une formalisation actuelle.
• Raisonner  : Démontrer des relations dans des contextes géométriques à repérer (triangles semblables), comprendre intuitivement la notion de limite.
• Calculer  : Calculs numériques et algébriques (notamment développer), équations de droites, coefficient directeur.
• Communiquer  : Présenter ses résultats à l’écrit, formuler les résultats observés avec un vocabulaire approprié.

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