Chapitre 5. D’un problème de vitesse à une représentation médiévale d’une relation fonctionnelle

CHEVALARIAS Nathalie, samedi 15 juin 2024

Rédaction : Frédéric Laurent
Expérimentation : Florian Job, Jean-Marc Pilandon, Benjamin Rech, Frédéric Laurent (Groupe AHMES de l’IREM de Clermont-Ferrand)

Liste des compléments numériques

1. Feuille de route suivie pour la mise en œuvre concrète de l’activité en classe. (.pdf)
2. Trace écrite faisant suite à l’activité et synthétisant le contenu mathématique. (.pdf)
3. Trace écrite faisant suite à l’activité et synthétisant le contenu historique et épistémologique. (.pdf)

Liste des notions et des compétences travaillées

Items d’histoire des mathématiques abordés (programmes de 2019)
2nde générale
Fonctions
On peut évoquer la très lente élaboration de la notion de fonction, depuis l’Antiquité jusqu’à la codification actuelle par Dirichlet, en mettant en évidence quelques étapes importantes : Newton, Leibniz, Euler. On souligne alors l’importance de la notation algébrique.

1ère générale
Enseignement de spécialité
Algèbre
Les problèmes décrits dans les livres de Fibonacci, ou chez les savants arabes qui le précèdent, se modélisent avec des suites. Oresme calcule des sommes de termes de suites géométriques au XIV^e siècle.

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Notions traitées (programmes de 2019)
2nde générale
Fonctions
Représenter algébriquement et graphiquement les fonctions
Contenus
- Fonction à valeur réelle définie sur un intervalle ou une réunion d’intervalles de ℝ
- Courbe représentative : la courbe d’équation ` y=f(x) ` est l’ensemble des points du plan dont les coordonnées ` (x ;y) ` vérifient ` y=f(x) ` .
Capacités attendues
- Modéliser par des fonctions des situations issues des mathématiques, des autres disciplines.

Étudier les variations et les extremums d’une fonction
Contenus
- Pour une fonction affine, interprétation du coefficient directeur comme taux d’accroissement, variations selon son signe.
Capacités attendues
- Relier représentation graphique et tableau de variations.
- Relier sens de variation, signe et droite représentative d’une fonction affine.

1ère générale
Enseignement de spécialité
Algèbre
Suites numériques, modèles discrets
Contenus
- Suites arithmétiques : exemples, définition, calcul du terme général. […] Lien avec les fonctions affines. Calcul de ` 1+2+ ... +n ` .
Capacités attendues
- Pour une suite arithmétique ou géométrique, calculer le terme général, la somme de termes consécutifs.
- Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique.

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Compétences travaillées

• Chercher  : Envisager plusieurs stratégies pour la résolution d’un problème ouvert (arithmétique, algorithmique, graphique voire géométrique), être capable de mettre en doute un raisonnement ou un résultat.
• Modéliser  : Utiliser une fonction (affine) pour exprimer le lien entre vitesse et temps.
• Représenter  : Utiliser les représentations graphiques de fonctions, utiliser des configurations géométriques usuelles pour représenter des modes de variation, associer ces modes de variation à des dénominations et à des expressions algébriques de fonctions usuelles (changer de registre de représentation), représenter une distance par l’aire d’une configuration.
• Raisonner  : Discrétiser une situation de variation continue de la vitesse en fonction du temps pour résoudre le problème, traduire cette situation par une situation équivalente en faisant appel à la vitesse moyenne, démontrer que deux figures ont la même aire.
• Calculer  : Convertir des temps ou des vitesses dans plusieurs unités, calculer la somme des termes d’une suite arithmétique (par des moyens rudimentaires en seconde), calculer une vitesse moyenne.
• Communiquer  : Expliquer oralement la démarche de résolution choisie pour aborder un problème ouvert, interpréter l’énoncé d’un théorème (ancien) et expliciter son application à une situation concrète, rédiger une preuve.

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