Chapitre 6. Une introduction de la fonction inverse par un problème de lieu géométrique et une construction à la façon de Descartes

CHEVALARIAS Nathalie, samedi 15 juin 2024

Rédaction : Frédéric Laurent
Expérimentation : Jean-Marc Pilandon, Benjamin Rech (Groupe AHMES de l’IREM de Clermont-Ferrand)

Liste des compléments numériques

1. Feuille de route suivie pour la mise en œuvre concrète de l’activité en classe. (.pdf)
2. Trace écrite faisant suite à l’activité et synthétisant le contenu mathématique. (.pdf)
3. Trace écrite faisant suite à l’activité et synthétisant le contenu historique et épistémologique. (.pdf)

Liste des notions et des compétences travaillées

Items d’histoire des mathématiques abordés (programmes de 2019)

2nde générale
Fonctions
On peut évoquer la très lente élaboration de la notion de fonction, depuis l’Antiquité jusqu’à la codification actuelle par Dirichlet, en mettant en évidence quelques étapes importantes : Newton, Leibniz, Euler. On souligne alors l’importance de la notation algébrique.

Géométrie
Les progrès apportés par la « méthode des coordonnées » de Descartes [...] permettent de relier efficacement géométrie, physique et calcul. On pourra évoquer les mathématiques grecques, en mettant en évidence le rôle central de la géométrie dans la naissance de l’idée de démonstration ainsi que le faible développement de l’algèbre sous l’Antiquité, en partie dû à l’appui systématique sur la géométrie.

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Notions traitées (programmes de 2019)
2nde générale
Fonctions
Se constituer un répertoire de fonctions de référence
Contenus
- Fonction inverse : définition et courbe représentative.

Représenter algébriquement et graphiquement les fonctions
Contenus
- Fonction à valeur réelle définie sur un intervalle ou une réunion d’intervalles de ℝ
- Courbe représentative : la courbe d’équation ` y=f(x) ` est l’ensemble des points du plan dont les coordonnées ` (x ;y) ` vérifient ` y=f(x) `.
- Fonction impaire, traduction géométrique.
Capacités attendues
- Exploiter l’équation ` y=f(x) ` d’une courbe : appartenance, calcul de coordonnées.
Approfondissement possible
- Étudier la parité d’une fonction dans des cas simples.

Géométrie
Résoudre des problèmes de géométrie
Contenus
- Projeté orthogonal d’un point sur une droite.
Capacités attendues
- Résoudre des problèmes de géométrie plane sur des figures simples ou complexes (triangles, quadrilatères, cercles).

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Compétences travaillées

• Chercher  : Chercher une procédure pour construire un segment dont la longueur est le quotient des longueurs de deux segments donnés (chercher une procédure similaire à celle du produit).
• Modéliser  : Transposer le problème de lieu du registre géométrique au registre algébrique.
• Représenter  : Repérer un point du plan, représenter géométriquement des segments ayant pour longueur le produit, le quotient ou l’inverse de longueurs de segments donnés, construire point par point une courbe comme lieu de points.
• Raisonner  : Utiliser un théorème de géométrie plane (théorème de Thalès ou théorème des triangles semblables) pour justifier une construction, comprendre le rôle d’une équation de courbe pour caractériser l’appartenance d’un point à cette courbe, justifier la symétrie d’une courbe par des raisons géométriques ou analytiques.
• Calculer  : Utiliser les définitions de l’inverse et de l’opposé de deux nombres (dans le but de traduire analytiquement l’imparité), travailler sur l’égalité des quotients (échange des moyens et des extrêmes, égalité des produits en croix).
• Communiquer  : Expliciter un protocole de construction à l’oral, décrire verbalement une courbe.

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