Chapitre 1. Le partage d’un segment en extrême et moyenne raison : d’un problème euclidien à une solution cartésienne

Rédaction, expérimentation : Dominique Baroux, Martine Bühler, Éléonore Petit (Groupe M.:A.T.H. de l’IREM de Paris)

Liste des compléments numériques

Compléments pour la classe

1. Le fichier « baroux_partage_segment_Activité_Euclide3 » présente l’« activité Euclide » du chapitre. (.docx ou .pdf)
2. Le fichier « baroux_partage_segment_GeoGebra Euclide » est l’animation GeoGebra utilisée en classe. (.ggb)
3. Le fichier « baroux_partage_segment_presentationeuclideeleves » est le diaporama sur lequel s’est appuyé l’exposé sur Euclide. (.pdf)
4. Le fichier « baroux_partage_segment_Euclidealgo » présente un prolongement possible en classe de l’« activité Euclide » vers l’algorithmique, qui pourrait être prolongée avec l’utilisation du langage Python. (.pdf)
5. Deux versions de l’activité « Descartes-Rabuel » :
   « baroux_partage_segment_Activité_Descartes_Rabuel1 » (.docx ou .pdf)
   « baroux_partage_segment_Activité_Descartes_Rabuel2 » (.docx ou .pdf)
6. Un fichier baroux_partage_segment_Traces écrites. (.pdf)

Complément historique

1. Le fichier « baroux_partage_segment_demo_euclide_II_11 » présente les propositions 6 et 11 du livre II des Éléments d’Euclide et leurs démonstrations, avec une aide à la lecture du texte d’Euclide. La proposition 11 pose et résout le problème de partage d’un segment étudié dans le chapitre, la proposition 6 est un préalable utilisé dans la démonstration d’Euclide de la proposition 11. (.pdf)

Liste des notions et des compétences travaillées

Items d’histoire des mathématiques abordés (programmes de 2019)
2nde générale
Nombres et calculs
[…] Il s’agit également de souligner le gain en efficacité et en généralité qu’apporte le calcul littéral, en expliquant qu’une grande partie des mathématiques n’a pu se développer qu’une fois ce formalisme stabilisé au cours des siècles. Il est possible d’étudier des textes anciens d’auteurs tels que Diophante, Euclide, Al-Khwarizmi, Fibonacci, Viète, Fermat, Descartes et mettre en évidence leurs aspects algorithmiques.
Géométrie
Les progrès apportés par la « méthode des coordonnées » de Descartes [...] permettent de relier efficacement géométrie, physique et calcul. On pourra évoquer les mathématiques grecques, en mettant en évidence le rôle central de la géométrie dans la naissance de l’idée de démonstration ainsi que le faible développement de l’algèbre sous l’Antiquité, en partie dû à l’appui systématique sur la géométrie.

Notions traitées (programmes de 2019)
2nde générale
Nombres et calculs
Objectifs
La mise en évidence de la puissance du calcul littéral comme outil de résolution de problème, déjà rencontrée au collège, reste un objectif important. L’élève doit être confronté à des situations, internes ou externes aux mathématiques, dans lesquelles une modélisation est nécessaire, faisant intervenir variables, expressions algébriques, équations ou inéquations. Les situations internes sont l’occasion de réactiver les connaissances du collège, notamment sur les thèmes « Espace et géométrie » et « Grandeurs et mesures » (longueurs, aires, volumes, angles, vitesses).

Utiliser le calcul littéral
Contenus
– Exemples simples de calcul sur des expressions algébriques.
– Ensemble des solutions d’une équation.
Capacités attendues
– Choisir la forme la plus adaptée (factorisée, développée réduite) d’une expression en vue de la résolution d’un problème.
– Comparer deux quantités en utilisant leur différence, ou leur quotient dans le cas positif.

Géométrie
Résoudre des problèmes de géométrie
Capacités attendues
– Résoudre des problèmes de géométrie plane sur des figures simples ou complexes (triangles, quadrilatères, cercles).

Compétences travaillées

• Chercher  : Approche expérimentale papier crayon pour comparer des aires.
• Représenter  : Changement de registre, aller-retour entre cadre géométrique et algébrique à travers des textes historiques.
• Raisonner  : L’approche expérimentale permet de trouver une réponse partielle au problème posé, le passage au cadre algébrique permet de résoudre le problème et de démontrer la validité de la solution trouvée.
• Communiquer  : Trace écrite demandée à chaque séance. Travail collaboratif en groupe (discussion sur le problème et élaboration de la trace écrite).