Chapitre 10. Le nombre 𝑒 à travers un problème d’intérêts composés chez Bernoulli et un jeu de cartes chez Euler

CHEVALARIAS Nathalie, dimanche 16 juin 2024

Rédaction et expérimentation : Alain Busser, Alexandre Técher (IREMI de la Réunion)

Liste des notions et des compétences travaillées

Items d’histoire des mathématiques abordés (programmes de 2019)
1ère générale
Enseignement de spécialité
Algèbre
Bien avant de faire l’objet d’une étude formalisée, les suites apparaissent dans deux types de situations :

• approximation de nombres réels (encadrement de π par Archimède, calcul de la racine carrée chez Héron d’Alexandrie) ;
• problèmes de comptage (les lapins de Fibonacci...).

Probabilités et statistiques
L’histoire des probabilités contribue à la réflexion sur la codification d’une théorie scientifique. On peut considérer que les origines du « calcul des probabilités » remontent au XVIIe siècle. Pascal, Huygens, Moivre, Bernoulli, Euler, d’Alembert appliquent les notions de variable aléatoire et d’espérance à des problèmes issus de questions liées aux jeux, aux assurances et à l’astronomie.

Algorithmique et programmation
De nombreux textes témoignent d’une préoccupation algorithmique au long de l’Histoire. Lorsqu’un texte historique a une visée algorithmique, transformer les méthodes qu’il présente en un algorithme, voire en un programme, ou inversement, est l’occasion de travailler des changements de registre qui donnent du sens au formalisme mathématique.

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Notions traitées (programmes de 2019)
2nde générale
Statistiques et probabilités
Utiliser l’information chiffrée et statistique descriptive
Contenus
- Évolutions successives […]. Relation sur les coefficients multiplicateurs.
Capacités attendues
- Exploiter la relation entre deux valeurs successives et leur taux d’évolution.
- Calculer le taux d’évolution global à partir des taux d’évolution successifs.

Échantillonnage
Contenus
- Version vulgarisée de la loi des grands nombres : « lorsque ` n ` est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité ».
- Principe de l’estimation d’une probabilité, ou d’une proportion dans une population, par une fréquence observée sur un échantillon.
Capacités attendues
- Lire et comprendre une fonction Python renvoyant le nombre ou la fréquence de succès dans un échantillon de taille ` n ` pour une expérience aléatoire à deux issues.
- Simuler `N ` échantillons de taille ` n ` d’une expérience aléatoire à deux issues.

Algorithmique et programmation
Utiliser les variables et les instructions élémentaires
Contenus
- Instruction conditionnelle.
- Boucle bornée.

1ère générale
Enseignement de spécialité
Algèbre
Suites numériques, modèles discrets
Contenus
- Exemples de modes de génération d’une suite : explicite […].
- Sur des exemples, introduction de la notion de limite, finie ou infinie, d’une suite.
Capacités attendues
- Proposer, modéliser une situation permettant de générer une suite de nombres.
- Calculer des termes d’une suite définie explicitement.
Approfondissements possibles
- Remboursement d’un emprunt par annuité constantes.

Analyse
Fonction exponentielle
Contenus
Nombre `e` . Notation `e^x` .
Exemple d’algorithme
- Détermination d’une valeur approchée de `e` à l’aide de la suite `((1+ (1)/(n))^n)` .

Algorithmique et programmation
Utiliser les variables et les instructions élémentaires
Capacités attendues
- Générer une liste.
- Itérer sur les éléments d’une liste.

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Compétences travaillées

• Chercher : Expérimenter - en particulier à l’aide d’outils logiciels : on découvre par l’expérimentation que le jeu de rencontre n’est pas équitable ; on précise ce point par des simulations. C’est en cherchant comment simuler les mélanges de cartes (sans utiliser la fonction shuffle de Python) que des élèves ont réinventé un algorithme proche de celui de Fisher et Yates. Le problème de Bernoulli sur les intérêts composés s’étudie par des expériences (suite de calculs).
• Modéliser : L’algorithme de Fisher et Yates revient à modéliser un mélange de cartes. L’objectif étant de simuler en Python le jeu de rencontre pour constituer un échantillon de grande taille.
• Représenter : Le cadre numérique est à la base de l’activité sur Bernoulli et la simulation du jeu de rencontre, le cadre algébrique est à la base de l’activité sur les probabilités. Le changement de cadre se voit bien entre les algorigrammes et les scripts Python.
• Raisonner : Il est demandé de prouver que les probabilités annoncées par Euler sont bien égales aux fractions données dans l’article.
• Calculer : Appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes : l’activité sur les intérêts composés selon Bernoulli est basée sur des calculs de termes de la suite convergeant vers `e` . Un algorithme de comptage est utilisé dans la simulation.
• Communiquer : L’une des activités peut être vue comme un commentaire de texte sur le début de l’article d’Euler. Le dessin d’un algorigramme est une forme de communication (d’un algorithme).

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